梯度下降法逻辑回归的代价函数

逻辑回归的代价函数使用的是交叉熵损失函数。假设有 $m$ 个训练样本，第 $i$ 个训练样本的特征向量为 $x^{(i)}$，标签为 $y^{(i)}$，则逻辑回归的代价函数可以表示为：

$$
J(\theta) = -\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m [y^{(i)}\log(h_\theta(x^{(i)})) + (1-y^{(i)})\log(1-h_\theta(x^{(i)}))]
$$

其中，$h_\theta(x^{(i)})$ 表示预测值，即：

$$
h_\theta(x^{(i)}) = \frac{1}{1+e^{-\theta^Tx^{(i)}}}
$$

$\theta$ 表示模型参数，需要通过梯度下降法等优化算法来求解。

相关问题

逻辑回归代价函数代码

这篇文章介绍了逻辑回归模型的参数拟合过程，并给出了逻辑回归代价函数的推导过程和代码实现。逻辑回归的代价函数被重新定义为：

def cost(theta, X, y):
    theta = np.matrix(theta)
    X = np.matrix(X)
    y = np.matrix(y)
    first = np.multiply(-y, np.log(sigmoid(X* theta.T)))
    second = np.multiply((1 - y), np.log(1 - sigmoid(X* theta.T)))
    return np.sum(first - second) / (len(X))

其中sigmoid函数是一个常用的激活函数，用于将输入值映射到0到1之间的概率值。
这个代价函数可以用梯度下降算法来求得能使代价函数最小的参数。具体的推导过程和算法步骤可以参考文章中的内容。此外，除了梯度下降算法外，还有一些其他的优化算法可以用来求解逻辑回归模型的参数，如共轭梯度、BFGS和LBFGS等。这些算法通常更加复杂和优越，并且不需要手动选择学习率。

逻辑回归梯度下降和线性回归梯度下降有何区别？

逻辑回归和线性回归都可以使用梯度下降算法进行优化，但两者的模型和代价函数不同。线性回归是一种预测数值型变量的模型，其代价函数为平方损失函数，而逻辑回归是一种分类模型，其代价函数为对数损失函数。因此，逻辑回归在使用梯度下降时需要将代价函数的导数拆分为两部分计算，具体来说就是将代价函数中的sigmoid函数求导分离出来，这是与线性回归梯度下降算法的主要区别。