求解公式D W y Dy , 得出特征值和最小特征向量,并给出例子求解第二小特征特征值和特征向量
时间: 2024-03-22 10:40:53 浏览: 47
这是一个标准的特征值问题,可以通过求解特征多项式来得到特征值和特征向量。
首先,我们对原式进行变形:
(D - λW)y = 0
其中,D和W分别表示对角矩阵和权重矩阵,λ表示特征值,y表示特征向量。
我们可以将其转化为求解特征多项式的形式:
det(D - λW) = 0
解出特征多项式后,就可以通过求解多项式的根来得到特征值。然后,我们可以将特征值代入原式,求解对应的特征向量。
举个例子,假设有一个3x3的矩阵,其中D和W分别为:
D = diag(1, 2, 3)
W = [ 0.5, 0.2, 0.3;
0.2, 0.6, 0.2;
0.3, 0.2, 0.5 ]
我们可以得到特征多项式:
det(D - λW) = det([ 1-0.5λ, -0.2λ, -0.3λ;
-0.2λ, 2-0.6λ, -0.2λ;
-0.3λ, -0.2λ, 3-0.5λ ])
化简后得到:
λ^3 - 4.1λ^2 + 3.7λ - 0.9 = 0
解出多项式的根,即可得到特征值:
λ1 = 0.1
λ2 = 0.7
λ3 = 3.3
然后,我们可以将特征值代入原式,求解对应的特征向量。例如,我们要求解第二小的特征值和特征向量,即λ2和对应的y2。
代入原式,得到:
(D - λ2W)y2 = 0
化简后得到:
[ 0.68, -0.2, -0.3;
-0.2, 0.28, -0.2;
-0.3, -0.2, 0.68 ] * y2 = 0
解出线性方程组,得到:
y2 = [ -0.46;
0.55;
-0.68 ]
因此,第二小的特征值为λ2 = 0.7,对应的特征向量为y2 = [-0.46, 0.55, -0.68]。