各部门需要访问内部网的员工数量第一个月0人，第二月80人第三个月250人第四个月40人第五个月80人 序号 服务器类型 服务器支持同时接入的人员数 服务器单价 1 联想ThinkStation P410 30人 1.06万元 2 联想ThinkStation P520 60人 1.64万元 3 HPML350 Gen10 200人 3.30万元 4 IBM K1 Power S914 2000人 7万元HP(惠普公司)愿意为购买的每台服务器提供10%的折扣，但前提是在第一个月购买服务器 IBM 愿意在前两个月内为购买的所有服务器提供25%的折扣 在第一个月内可以花的钱有限，只有3.20万元可用于购买服务器，最后，第一个月宣传部门至少需要一台服务器。信息主管指出，如果在最初的几个月里购买了一台更大的服务器来支持最后几个月的用户，可能会节省开支.因此，公司决定评估整个计划期间要购买的服务器数量和类型。制定一个数学规划模型，以确定应在哪个月内购买哪 些服务器，以最大限度地降低总成本并支持所有新用户。每个月应该购买多少、哪些类型的服务器?总成本是多少?请写出模型公式

假设在第 $i$ 个月购买的服务器数量为 $x_{i,j}$，其中 $j$ 表示购买的服务器类型，取值为 $1,2,3,4$。则我们需要最小化总成本，即：

$$\min z = 1.06x_{1,1} + 1.64x_{2,2} + 3.3x_{3,3} + 1.25\times 7x_{1,4} + 0.9\times 1.64x_{2,2} + 0.9\times 3.3x_{3,3} + 0.9\times 1.06x_{4,1} + 0.9\times 3.3x_{5,3} + 0.9\times 1.25\times 3x_{5,4}$$

其中，第一项表示购买联想ThinkStation P410的成本；第二项表示购买联想ThinkStation P520的成本；第三项表示购买HPML350 Gen10的成本；第四项表示购买IBM K1 Power S914的成本，根据题目条件，第一项需要打九折，第二、三、六、七项需要打一次九折，第四、五、八、九项需要打两次九折。

同时，我们需要满足每个月的用户接入量限制，即：

$$\begin{aligned} &x_{1,1} \geq 1\\ &30x_{2,1} + 80x_{2,2} \geq 80\\ &30x_{3,1} + 80x_{3,2} + 200x_{3,3} \geq 250\\ &30x_{4,1} + 80x_{4,2} + 200x_{4,3} \geq 40\\ &30x_{5,1} + 80x_{5,2} + 200x_{5,3} \geq 80\\ \end{aligned}$$

其中，第一个限制表示第一个月至少需要购买一台服务器；第二至五个限制分别表示第二至五个月的用户接入量需求。

此外，根据信息主管的建议，我们还需要在最初的几个月购买一台更大的服务器来支持后面几个月的用户。假设在第 $k$ 个月购买更大的服务器，购买的是类型为 $p$ 的服务器，且支持的最大用户数为 $c_p$。则我们需要满足以下限制：

$$\begin{aligned} &30x_{k,1} + 60x_{k,2} + 200x_{k,3} + c_p y_k \geq \sum_{i=k+1}^{5} (30x_{i,1} + 80x_{i,2} + 200x_{i,3})\\ &\sum_{j=1}^4 y_k \leq 1\\ &y_k \in \{0,1\}\\ \end{aligned}$$

其中，第一个限制表示在第 $k$ 个月购买更大的服务器，需要满足后面几个月的用户接入量需求；第二个限制表示最多只能购买一台更大的服务器；第三个限制表示 $y_k$ 是一个 0-1 变量，表示是否在第 $k$ 个月购买更大的服务器。

综上所述，我们可以得到以下数学规划模型：

$$\begin{aligned} &\min z = 1.06x_{1,1} + 1.64x_{2,2} + 3.3x_{3,3} + 1.25\times 7x_{1,4} + 0.9\times 1.64x_{2,2} + 0.9\times 3.3x_{3,3} + 0.9\times 1.06x_{4,1} + 0.9\times 3.3x_{5,3} + 0.9\times 1.25\times 3x_{5,4}\\ &\text{s.t.}\\ &x_{1,1} \geq 1\\ &30x_{2,1} + 80x_{2,2} \geq 80\\ &30x_{3,1} + 80x_{3,2} + 200x_{3,3} \geq 250\\ &30x_{4,1} + 80x_{4,2} + 200x_{4,3} \geq 40\\ &30x_{5,1} + 80x_{5,2} + 200x_{5,3} \geq 80\\ &30x_{k,1} + 60x_{k,2} + 200x_{k,3} + c_p y_k \geq \sum_{i=k+1}^{5} (30x_{i,1} + 80x_{i,2} + 200x_{i,3}) \quad (k=1,2,3,4)\\ &\sum_{j=1}^4 y_k \leq 1 \quad (k=1,2,3,4)\\ &y_k \in \{0,1\} \quad (k=1,2,3,4)\\ &x_{i,j} \geq 0 \quad (i=1,2,3,4,5, j=1,2,3,4)\\ \end{aligned}$$

其中，$c_p$ 表示购买更大的服务器类型 $p$ 支持的最大用户数，需要事先确定。