桌子上有一个m行n列的方格矩阵,将每个方格用坐标表示,行坐标从下到上依次递增,列坐标从左至右依次递增,左下角方格的坐标为(1,1),则右上角方格的坐标为(m,n)且(0<m+n<=20)。 小明是个调皮的孩子,一天他捉来一只蚂蚁,不小心把蚂蚁的右脚弄伤了,于是蚂蚁只能向上或向右移动。小明把这只蚂蚁放在左下角的方格中,蚂蚁从左下角的方格中移动到右上角的方格中,每步移动一个方格。蚂蚁始终在方格矩阵内移动,请计算出不同的移动路线的数目。
时间: 2023-05-31 07:19:37 浏览: 113
### 回答1:
题目描述:桌子上有一个m行n列的方格矩阵,将每个方格用坐标表示,行坐标从下到上依次递增,列坐标从左到右依次递增,左下角方格的坐标为(1,1),则右上角方格的坐标为(m,n)且(1<m+n≤20)。小明是个调皮的孩子,一天他捉来一只蚂蚁,不小心把蚂蚁的右脚弄伤了,于是蚂蚁只能向上或向右移动。小明把这只蚂蚁放在左下角的方格中,蚂蚁从左下角的方格中移动到右上角的方格中,在移动的过程中,请计算出不同的移动路径线的数目。
解析:题目要求从左下角到右上角的移动路径线数目,且蚂蚁只能向上或向右移动。因为蚂蚁每移动一格,只能从左边或下边的方格移动过来,因此,从左下角开始,每个方格的路径线数目等于左边和下边的方格路径线数目之和。最后,右上角方格的路径线数目即为所求。
### 回答2:
这道题可以使用组合数学中的排列组合知识来解决。
从左下角到右上角的移动路径可以看作是由向上的步数和向右的步数组成的序列,假设向上的步数为x,向右的步数为y,则x+y=m-1,因为从左下角到右上角需要经过m-1个格子。又因为蚂蚁只能向上或向右移动,所以x和y只能在1~n之间取值。
因此,题目就变成了从m-1个x中选择x个向上移动的位置,剩下y个位置则表示向右移动的位置,所以方案数就是C(m-1,x)。
因为x和y的取值范围都是1~n,所以需要枚举x的取值,将每种情况下的方案数累加起来,就可以得到从左下角到右上角的不同移动路径总数了。具体实现可以使用双重循环。
代码如下:
```python
m, n = map(int, input().split())
count = 0
for x in range(1, n+1):
y = m - 1 - x + 1
if 1 <= y <= n:
count += math.comb(m-1, x)
print(count)
```
需要注意的是,Python中计算组合数可以使用math库中的comb函数,也可以使用scipy库中的comb函数。
### 回答3:
这是一个简单的组合问题。假设蚂蚁要向上移动x步,向右移动y步,那么x+y=m-1(因为蚂蚁不能移出矩阵)。而在这x+y步中,只有x步是向上移动,y步是向右移动。所以问题转化为:从x+y步中选出x步进行向上移动,共有多少种情况。
用组合公式可以得到,共有C(x+y,x)种情况。即移动路线共有C(m+n-2,n-1)种情况。
例如,当m=3,n=3时,蚂蚁可以有如下移动路线:
上 右 上
右 上 右
上 右 右
右 右 上
右 上 上
上 上 右
共有6种移动路线。
如果将问题稍微拓展一下,即蚂蚁不仅可以向上或向右移动,也可以向下或向左移动,但仍然只能在矩形内移动,那么问题就会稍微复杂一些。假设蚂蚁要向上移动x步,向右移动y步,向下移动z步,向左移动w步,那么x+y+z+w=m+n-2(因为在总步数中减去一步重复的起点),而在这x+y+z+w步中,只有x步是向上移动,y步是向右移动,z步是向下移动,w步是向左移动。得到移动路线的种数为C(m+n-2,m-1)*C(m-1,x)*C(n-1,w)。