线性回归模型的目标函数是最小化所有数据的均方误差。可以采用梯度下降法近似求解。
时间: 2024-06-04 15:11:07 浏览: 7
具体来说,对于给定的训练数据集$(\boldsymbol{x}_1,y_1),(\boldsymbol{x}_2,y_2),\cdots,(\boldsymbol{x}_m,y_m)$,线性回归模型假设目标值与特征之间的关系为
$$
y_i=\boldsymbol{w}^T\boldsymbol{x}_i+b+\epsilon_i,
$$
其中$\boldsymbol{w}$是特征权重(或系数)向量,$b$是偏置(或截距)项,$\epsilon_i$是误差项。
线性回归模型的目标是找到一组合适的参数$\boldsymbol{w}$和$b$,使得模型的预测值$\hat{y}_i=\boldsymbol{w}^T\boldsymbol{x}_i+b$尽可能地接近实际值$y_i$。因此,我们可以定义均方误差(MSE)作为目标函数:
$$
\text{MSE}=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(\hat{y}_i-y_i)^2=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(\boldsymbol{w}^T\boldsymbol{x}_i+b-y_i)^2
$$
我们的目标是找到一组参数$\boldsymbol{w}$和$b$,使得MSE最小化。为了实现这一目标,我们可以使用梯度下降法来更新参数。梯度下降法是一种迭代优化算法,每次迭代更新参数时,都会沿着负梯度方向(即MSE对于参数的偏导数的相反数方向)进行更新。具体来说,我们可以先计算出MSE对于$\boldsymbol{w}$和$b$的偏导数,然后根据这些偏导数的相反数方向来更新参数:
$$
\boldsymbol{w}\leftarrow \boldsymbol{w}-\alpha\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(\boldsymbol{w}^T\boldsymbol{x}_i+b-y_i)\boldsymbol{x}_i
$$
$$
b\leftarrow b-\alpha\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(\boldsymbol{w}^T\boldsymbol{x}_i+b-y_i)
$$
其中$\alpha$是学习率,控制每次迭代的步长大小。我们可以通过多次迭代来不断更新参数,直到达到一定的收敛条件为止。
相关推荐
![pdf](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083512.png)
![pdf](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083512.png)
![rar](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083606.png)
![-](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_column_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)