假设二维特征空间中样本集(属同一类别) 如下:(1,0.5)(0.5,12.1)(2,2)(3,3)(1.5,1.5)(0,0)(0.5,0)(4,4)(2,1.5)若h=1,采用方窗法估计点(0,0),(1,1)的概率密度

方窗法是一种非参数估计概率密度函数的方法，可以通过在每个数据点周围的方形区域内计算样本点的密度来估计概率密度函数。对于点$(x,y)$，其在方窗$h$下的概率密度估计为：

$$\hat{f}(x,y)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\frac{1}{h^2}K(\frac{x-x_i}{h},\frac{y-y_i}{h})$$

其中$K(u,v)$是核函数，$n$是样本数。在这里，我们选择使用高斯核函数：

$$K(u,v)=\frac{1}{2\pi}e^{-\frac{u^2+v^2}{2}}$$

对于点$(0,0)$和$(1,1)$，我们可以根据上面的公式计算它们在$h=1$下的概率密度估计。具体地，我们需要找到这些点周围的数据点，并计算它们的核函数值。对于点$(0,0)$，它周围的数据点是$(0,0)$和$(0.5,0)$，所以我们可以计算：

$$\hat{f}(0,0)=\frac{1}{9}\cdot\big(K(0,0)+K(-0.5,-0.5)+K(-0.5,0.5)\big)$$

类似地，对于点$(1,1)$，它周围的数据点是$(1,0.5)$，$(1.5,1.5)$和$(2,1.5)$，因此我们可以计算：

$$\hat{f}(1,1)=\frac{1}{9}\cdot\big(K(-0.5,-0.5)+K(0,0)+K(0.5,0)+K(-0.5,0.5)+K(0.5,-0.5)\big)$$

将高斯核函数的表达式代入计算即可得到最终结果。

相关问题

假设二维特征空间中样本集(属同一类别)如下:(1,0.5) (0.5,1)(2,1) (2,2)(3,3)(1.5,1.5)(0,0)(0.5,0)(4,4)(2,1.5) 若h=1,采用方窗法估计点(0,0),(1,1)的概率密度。

首先，我们需要确定二维特征空间中的最大最小范围，以确定方窗的大小。样本集中最小值为(0,0)，最大值为(4,4)，因此方窗的大小可以设置为一个边长为5的正方形。

对于点(0,0)，我们需要计算包含该点的方窗中样本点的比例，进而估计出该点的概率密度估计值。

包含(0,0)的方窗中包含三个样本点，分别为(0,0)、(0.5,0)和(1,0.5)。因此，该点的概率密度估计值为：

p(0,0) = 3 / (11 * h^2) = 3 / 11

对于点(1,1)，同样需要计算包含该点的方窗中样本点的比例，进而估计出该点的概率密度估计值。

包含(1,1)的方窗中包含两个样本点，分别为(0.5,1)和(1.5,1.5)。因此，该点的概率密度估计值为：

p(1,1) = 2 / (11 * h^2) = 2 / 11

需要注意的是，这里的h=1，根据具体情况可适当调整h的取值。

假设二维特征空间中样本集（属同一类别）如下： (1,0.5)(0.5,1)(2,1) (2,2)(3,3)(1.5,1.5)(0,0)(0.5,0)(4,4)(2,1.5) 若h=1,采用方窗法估计点(0,0)，(1,1)的概率密度。

方窗法是一种非参数估计概率密度函数的方法，其估计公式为：

$$
\hat{f}_h(x) = \frac{1}{nh^d}\sum_{i=1}^{n}K\left(\frac{x-x_i}{h}\right)
$$

其中，$K(u)$是核函数，$h$是窗口大小（也称为带宽），$d$是特征空间的维数，$x_i$是样本集中的第$i$个样本，$n$是样本集的大小。

对于二维特征空间，$d=2$。常用的核函数包括高斯核函数、矩形核函数、三角核函数等，这里我们采用矩形核函数：

$$
K(u) = \begin{cases}
1/2, & |u_1|\leq 1, |u_2|\leq 1 \\
0, & \text{otherwise}
\end{cases}
$$

对于点$(0,0)$，我们有：

$$
\begin{aligned}
\hat{f}_h(0,0) &= \frac{1}{nh^2}\sum_{i=1}^{n}K\left(\frac{(0,0)-(x_i)}{h}\right) \\
&= \frac{1}{nh^2}\left(K\left(\frac{(0,0)-(1,0.5)}{h}\right)+K\left(\frac{(0,0)-(0.5,1)}{h}\right)+K\left(\frac{(0,0)-(2,1)}{h}\right)\right. \\
&\quad \left.+K\left(\frac{(0,0)-(2,2)}{h}\right)+K\left(\frac{(0,0)-(3,3)}{h}\right)+K\left(\frac{(0,0)-(1.5,1.5)}{h}\right)\right. \\
&\quad \left.+K\left(\frac{(0,0)-(0,0)}{h}\right)+K\left(\frac{(0,0)-(0.5,0)}{h}\right)+K\left(\frac{(0,0)-(4,4)}{h}\right)\right. \\
&\quad \left.+K\left(\frac{(0,0)-(2,1.5)}{h}\right)\right) \\
&= \frac{1}{10h^2}\left(1+1+1+0+0+0+1+1+0+1\right) \\
&= \frac{5}{10h^2} \\
&= \frac{1}{2h^2}
\end{aligned}
$$

对于点$(1,1)$，我们有：

$$
\begin{aligned}
\hat{f}_h(1,1) &= \frac{1}{nh^2}\sum_{i=1}^{n}K\left(\frac{(1,1)-(x_i)}{h}\right) \\
&= \frac{1}{nh^2}\left(K\left(\frac{(1,1)-(1,0.5)}{h}\right)+K\left(\frac{(1,1)-(0.5,1)}{h}\right)+K\left(\frac{(1,1)-(2,1)}{h}\right)\right. \\
&\quad \left.+K\left(\frac{(1,1)-(2,2)}{h}\right)+K\left(\frac{(1,1)-(3,3)}{h}\right)+K\left(\frac{(1,1)-(1.5,1.5)}{h}\right)\right. \\
&\quad \left.+K\left(\frac{(1,1)-(0,0)}{h}\right)+K\left(\frac{(1,1)-(0.5,0)}{h}\right)+K\left(\frac{(1,1)-(4,4)}{h}\right)\right. \\
&\quad \left.+K\left(\frac{(1,1)-(2,1.5)}{h}\right)\right) \\
&= \frac{1}{10h^2}\left(1+1+1+0+0+0+0+0+0+0\right) \\
&= \frac{3}{10h^2} \\
&= \frac{3}{2h^2}
\end{aligned}
$$

因此，当$h=1$时，点$(0,0)$的概率密度估计为$\frac{1}{2}$，点$(1,1)$的概率密度估计为$\frac{3}{2}$。