求矩阵(1 3;2 2)的特征值和特征向量
时间: 2024-05-30 07:08:19 浏览: 17
要求一个矩阵的特征值和特征向量,需要先求出其特征多项式,然后求出特征多项式的根(即特征值),最后求出每个特征值对应的特征向量。
对于矩阵 A = (1 3; 2 2),其特征多项式为:
|λI - A| = |λ-1 -3; -2 λ-2| = (λ-1)(λ-2) - 6 = λ^2 - 3λ - 4
解特征多项式得到特征值:
λ1 = 4, λ2 = -1
接下来,我们分别求 λ1 = 4 和 λ2 = -1 对应的特征向量。
对于 λ1 = 4,我们需要求解方程组:
(A - 4I)x = 0
代入矩阵 A 和 λ1,得到:
(1-4 3; 2 2-4)x = (-3 3)
化简得到:
(-3 3)x = 0
解该方程组得到 x1 = x2,即特征向量为 (1, 1)。
对于 λ2 = -1,同样需要求解方程组:
(A + 1I)x = 0
代入矩阵 A 和 λ2,得到:
(1+1 3; 2 2+1)x = (0 0)
化简得到:
(2 3; 2 3)x = (0 0)
解该方程组得到 x1 = -3x2,即特征向量为 (-3, 1)。
因此,矩阵 A 的特征值为 λ1 = 4, λ2 = -1,对应的特征向量分别为 (1, 1) 和 (-3, 1)。
相关问题
求矩阵特征值和特征向量
求矩阵的特征值和特征向量是线性代数中的一个重要问题。特征值是一个标量,特征向量是一个非零向量,它们满足矩阵与特征向量的乘积等于特征值与特征向量的乘积。求解矩阵的特征值和特征向量的方法有很多种,其中一种常用的方法是QR分解法迭代求解。具体步骤如下:
1. 对矩阵进行拟上三角化。
2. 迭代求解全部特征值。
3. 使用列主元素高斯消元法求出所有实特征值对应的特征向量。
另外,求解特征值和特征向量的过程可以通过求解特征方程来实现。特征方程是一个齐次线性方程组,其解即为特征值。特征向量可以通过代入特征值后求解线性方程组得到。
matlab求矩阵的特征值和特征向量
Matlab可以使用eig()函数来求解矩阵的特征值和特征向量。具体操作步骤如下:
1.定义矩阵A;
2.调用eig()函数,将矩阵A作为参数传入;
3.将eig()函数的返回值分别赋值给两个变量,一个用于存储特征值,一个用于存储特征向量。
以下是一个求解矩阵特征值和特征向量的Matlab代码示例:
```matlab
% 定义矩阵A
A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];
% 调用eig()函数求解特征值和特征向量
[V, D] = eig(A);
% 输出特征值和特征向量
disp('特征值:');
disp(D);
disp('特征向量:');
disp(V);
```
运行以上代码,即可得到矩阵A的特征值和特征向量。
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