偏导数的乘积法则和链式法则是什么,举例说明
时间: 2023-12-24 07:27:20 浏览: 33
偏导数的乘积法则和链式法则是求多元函数偏导数时经常用到的两个法则。
1. 偏导数的乘积法则
对于两个多元函数 f(x,y) 和 g(x,y),它们的乘积 f(x,y)g(x,y) 的偏导数可以表示为:
∂/∂x [f(x,y)g(x,y)] = f(x,y) * ∂g(x,y)/∂x + ∂f(x,y)/∂x * g(x,y)
∂/∂y [f(x,y)g(x,y)] = f(x,y) * ∂g(x,y)/∂y + ∂f(x,y)/∂y * g(x,y)
其中,∂f(x,y)/∂x 和 ∂g(x,y)/∂x 表示对 f(x,y) 和 g(x,y) 分别对 x 求偏导数,∂f(x,y)/∂y 和 ∂g(x,y)/∂y 表示对 f(x,y) 和 g(x,y) 分别对 y 求偏导数。
例如,对于函数 f(x,y) = x^2y 和 g(x,y) = exp(x)sin(y),它们的乘积偏导数可以表示为:
∂/∂x [f(x,y)g(x,y)] = x^2y * exp(x)cos(y) + 2xy * exp(x)sin(y)
∂/∂y [f(x,y)g(x,y)] = x^2y * exp(x)cos(y) + x^2 * exp(x)cos(y)
2. 偏导数的链式法则
对于多元函数 z = f(x,y),其中 x 和 y 都是关于另一个自变量 t 的函数,即 x = g(t), y = h(t),则 z 对 t 的偏导数可以表示为:
∂z/∂t = ∂z/∂x * ∂x/∂t + ∂z/∂y * ∂y/∂t
其中,∂z/∂x 和 ∂z/∂y 分别表示对 z 对 x 和 y 求偏导数,∂x/∂t 和 ∂y/∂t 分别表示对 x 和 y 对 t 求偏导数。
例如,对于函数 z = x^2y + sin(xy),其中 x = t^2, y = t^3,则 z 对 t 的偏导数可以表示为:
∂z/∂t = 2txy + x^2 * 3t^2 + cos(xy) * (y + x * ∂y/∂t)
其中,∂y/∂t = 3t^2。