设目标分布为 ${\pi(x, y) \propto\left(\begin{array}{l} n \\ x \end{array}\right) y^{x+\alpha-1}(1-y)^{n-x+\beta-1}, x=0,1, \ldots, n, 0 \leq y \leq 1}$，则X|Y∼B(n, y), Y|X∼Beta(x + α, n − x + β)。易见Y 的边缘分布为Beta(α, β)。可以用Gibbs 抽样方法模拟生成(X, Y) 的样本链。

感谢您的问题！这是一个关于概率分布、条件概率与Gibbs抽样方法的问题。

首先，根据题目所给的目标分布 $\pi(x,y)$，我们可以看出它是一个二维分布，其中 $x$ 表示二项分布中成功的次数，$y$ 表示二项分布中成功的概率。目标分布的具体形式为：

$$
\pi(x,y) \propto \binom{n}{x} y^{x+\alpha-1} (1-y)^{n-x+\beta-1}, \quad x=0,1,\ldots,n, 0 \leq y \leq 1
$$

其中，$\binom{n}{x}$ 表示从 $n$ 次试验中选择 $x$ 次成功的组合数，$y^{x+\alpha-1}$ 表示成功概率为 $y$ 的二项分布中出现 $x$ 次成功的概率，$(1-y)^{n-x+\beta-1}$ 表示成功概率为 $1-y$ 的二项分布中出现 $n-x$ 次成功的概率。注意到上式中 $\propto$ 表示比例关系。

接下来，我们需要求解给定 $Y$ 时 $X$ 的条件分布 $P(X|Y)$ 和给定 $X$ 时 $Y$ 的条件分布 $P(Y|X)$。根据题目所给，可以得到：

$$
X|Y \sim \text{B}(n,y) \\
Y|X \sim \text{Beta}(x+\alpha,n-x+\beta)
$$

这里 $\text{B}(n,y)$ 表示参数为 $n$ 和 $y$ 的二项分布，$\text{Beta}(x+\alpha,n-x+\beta)$ 表示参数为 $x+\alpha$ 和 $n-x+\beta$ 的 Beta 分布。

根据此条件分布，我们可以使用 Gibbs 抽样方法生成样本链。具体的，Gibbs 抽样方法的步骤如下：

1. 给定 $(x^{(t)},y^{(t)})$，从 $P(X|Y=y^{(t)})$ 中抽样得到 $x^{(t+1)}$；
2. 给定 $(x^{(t+1)},y^{(t)})$，从 $P(Y|X=x^{(t+1)})$ 中抽样得到 $y^{(t+1)}$；
3. 重复以上步骤，直到得到满足要求的样本链。

在实际操作中，我们可以通过 Metropolis-Hastings 方法来抽样 $P(X|Y=y^{(t)})$ 和 $P(Y|X=x^{(t+1)})$。具体的，我们可以使用以下的转移概率：

$$
q(x'|x) = \begin{cases}
\text{B}(n,y), & x' \sim \text{Bernoulli}(y) \\
0, & \text{otherwise}
\end{cases}
$$

$$
q(y'|y) = \begin{cases}
\text{Beta}(x+\alpha,n-x+\beta), & 0 \leq y' \leq 1 \\
0, & \text{otherwise}
\end{cases}
$$

其中，$\text{Bernoulli}(y)$ 表示参数为 $y$ 的 Bernoulli 分布。

这样，我们就可以通过 Gibbs 抽样方法来模拟生成 $(X,Y)$ 的样本链了。最终得到的样本链可以用来近似计算目标分布 $\pi(x,y)$ 的各种统计量，例如均值、方差等等。