用matlab利用Steiner最短树性质,分解MT使之成为n'颗子树
时间: 2024-05-25 15:19:33 浏览: 12
首先,我们需要了解Steiner最短树的性质:给定一张带权图G=(V,E),其中V为顶点集,E为边集。对于一个子集S⊆V,S中的顶点可以通过添加一些额外的顶点(Steiner点)来构造一棵生成树T,使得T的权值最小。这个生成树就叫做Steiner最短树。
接下来,我们考虑如何利用这个性质来分解MT成为n'颗子树。假设MT的根节点为r,我们可以将MT中所有不属于r的节点分为n'个集合S1,S2,...,Sn',使得每个集合中的节点可以通过添加Steiner点来构造一棵以r为根的子树。这样,我们就得到了MT的分解。
具体实现上,我们可以使用以下步骤:
1. 将MT中所有不属于r的节点划分为n'个集合S1,S2,...,Sn',其中S1包含所有直接子节点,S2包含所有S1以外的节点,S3包含所有S2以外的节点,以此类推。
2. 对于每个集合Si,考虑将Si中的节点作为Steiner点,构造一棵以r为根的生成树Ti。这里可以使用Prim算法或Kruskal算法来构造生成树。
3. 将Ti作为MT的子树,即将Ti中所有节点的父节点设置为r。
4. 重复步骤2和步骤3,直到所有集合Si都被处理完毕。
通过以上步骤,我们就可以将MT分解成为n'颗子树,每颗子树都以r为根,并且包含了MT中一部分节点。这个分解过程可以在Matlab中实现,具体实现方法可以参考Prim算法或Kruskal算法的Matlab实现。
相关问题
用matlab根据Steiner最短树性质,分解prim算法求出来的最小生成树MT
以下是用Matlab实现Prim算法求解最小生成树的代码:
```matlab
function [MT, cost] = prim(graph)
% Prim算法求解最小生成树
% 输入:图的邻接矩阵graph
% 输出:最小生成树MT和生成树的权值cost
n = size(graph, 1); % 图中节点数
cost = Inf(1, n); % cost(i)表示节点i到生成树的最短距离
visited = false(1, n); % visited(i)表示节点i是否已在生成树中
parent = zeros(1, n); % parent(i)表示节点i在生成树中的父节点
MT = zeros(n); % 最小生成树的邻接矩阵
% 从节点1开始,将其加入生成树
visited(1) = true;
cost(1) = 0;
for i = 2:n
cost(i) = graph(1, i);
parent(i) = 1;
end
% 重复执行n-1次
for i = 1:n-1
% 选取未加入生成树且到生成树距离最短的节点j
min_cost = Inf;
for j = 1:n
if ~visited(j) && cost(j) < min_cost
min_cost = cost(j);
k = j;
end
end
% 将节点k加入生成树
visited(k) = true;
MT(k, parent(k)) = graph(k, parent(k));
MT(parent(k), k) = graph(parent(k), k);
% 更新cost和parent
for j = 1:n
if ~visited(j) && graph(k, j) < cost(j)
cost(j) = graph(k, j);
parent(j) = k;
end
end
end
% 计算生成树的权值
cost = sum(cost);
```
接下来,我们根据Steiner最短树性质,将Prim算法求解出的最小生成树MT进行分解。
首先,我们需要找到MT中的所有叶节点,即度数为1的节点。这可以通过以下代码实现:
```matlab
degrees = sum(MT, 2);
leaves = find(degrees == 1)';
```
然后,对于每个叶节点,我们需要找到与其相连的最近的非叶节点,即其父节点。这可以通过以下代码实现:
```matlab
parents = zeros(1, length(leaves));
for i = 1:length(leaves)
node = leaves(i);
parent = find(MT(node, :));
while degrees(parent) == 2 % 如果父节点是叶节点,则继续向上找
parent = find(MT(parent, :));
end
parents(i) = parent;
end
```
最后,我们需要将MT中的每个非叶节点都替换为其与其子树中所有叶节点的Steiner点。这可以通过以下代码实现:
```matlab
for i = 1:length(parents)
parent = parents(i);
subtree = find(MT(parent, :));
subtree(subtree == parent) = []; % 去掉父节点
steiner = subtree(1);
for j = 2:length(subtree)
steiner = steiner_point(graph, steiner, subtree(j));
end
MT(parent, subtree) = 0;
MT(subtree, parent) = 0;
MT(parent, steiner) = graph(parent, steiner);
MT(steiner, parent) = graph(steiner, parent);
end
```
其中,steiner_point函数是计算两个节点之间的Steiner点的函数,可以使用任何已知的Steiner点算法实现。
最终,MT中的每个非叶节点都被替换为其与其子树中所有叶节点的Steiner点,即得到了MT的分解。完整的代码如下:
```matlab
function [MT, cost] = steiner_prim(graph)
% Prim算法求解最小生成树
% 输入:图的邻接矩阵graph
% 输出:最小生成树MT和生成树的权值
n = size(graph, 1); % 图中节点数
cost = Inf(1, n); % cost(i)表示节点i到生成树的最短距离
visited = false(1, n); % visited(i)表示节点i是否已在生成树中
parent = zeros(1, n); % parent(i)表示节点i在生成树中的父节点
MT = zeros(n); % 最小生成树的邻接矩阵
% 从节点1开始,将其加入生成树
visited(1) = true;
cost(1) = 0;
for i = 2:n
cost(i) = graph(1, i);
parent(i) = 1;
end
% 重复执行n-1次
for i = 1:n-1
% 选取未加入生成树且到生成树距离最短的节点j
min_cost = Inf;
for j = 1:n
if ~visited(j) && cost(j) < min_cost
min_cost = cost(j);
k = j;
end
end
% 将节点k加入生成树
visited(k) = true;
MT(k, parent(k)) = graph(k, parent(k));
MT(parent(k), k) = graph(parent(k), k);
% 更新cost和parent
for j = 1:n
if ~visited(j) && graph(k, j) < cost(j)
cost(j) = graph(k, j);
parent(j) = k;
end
end
end
% 计算生成树的权值
cost = sum(cost);
% 分解MT
degrees = sum(MT, 2);
leaves = find(degrees == 1)';
parents = zeros(1, length(leaves));
for i = 1:length(leaves)
node = leaves(i);
parent = find(MT(node, :));
while degrees(parent) == 2 % 如果父节点是叶节点,则继续向上找
parent = find(MT(parent, :));
end
parents(i) = parent;
end
for i = 1:length(parents)
parent = parents(i);
subtree = find(MT(parent, :));
subtree(subtree == parent) = []; % 去掉父节点
steiner = subtree(1);
for j = 2:length(subtree)
steiner = steiner_point(graph, steiner, subtree(j));
end
MT(parent, subtree) = 0;
MT(subtree, parent) = 0;
MT(parent, steiner) = graph(parent, steiner);
MT(steiner, parent) = graph(steiner, parent);
end
```
需要注意的是,由于Steiner点的计算通常比较耗时,因此在实际应用中可能需要使用更高效的算法来计算Steiner点。
matlab写出下面代码:对于给定的n个坐标轴上的点A1,A2,……,An,使用Prim算法找出最小生成树MT。 根据Steiner最短树性质,分解MT成为n′棵子树(1≤n′≤n-1)。
以下是Matlab代码实现:
% 定义图的邻接矩阵
n = 10; % 点的个数
A = rand(n); % 随机生成邻接矩阵
A = triu(A, 1); % 取上三角矩阵
A = A + A'; % 对称化
A(A == 0) = Inf; % 不存在的边用无穷大表示
% Prim算法生成最小生成树
T = prim(A);
% Steiner最短树分解
n_prime = n - 1; % 子树个数
S = cell(n_prime, 1); % 子树集合
for i = 1:n_prime
% 在最小生成树上任选一条边删除
[u, v] = find(T); % 找到所有边
idx = randi(length(u)); % 随机选一条边
T(u(idx), v(idx)) = 0; % 删除该边
% 构造子树
S{i} = bfs(T, u(idx)); % 以该边的一个端点为根进行BFS
S{i} = sort(S{i}); % 子树节点按升序排列
end
% 输出子树集合
disp('子树集合:');
for i = 1:n_prime
fprintf('S%d: ', i);
fprintf('%d ', S{i});
fprintf('\n');
end
% Prim算法实现
function T = prim(A)
n = size(A, 1);
T = zeros(n); % 最小生成树
d = Inf(1, n); % 节点到最小生成树的距离
visited = false(1, n); % 节点是否已被访问
d(1) = 0; % 从节点1开始构造最小生成树
for i = 1:n-1
% 找到未访问节点中距离最小的节点u
[~, u] = min(d(~visited));
visited(u) = true;
% 将u加入最小生成树
if u ~= 1
T(parent(u), u) = A(parent(u), u);
end
% 更新节点到最小生成树的距离
for v = 1:n
if ~visited(v) && A(u, v) < d(v)
d(v) = A(u, v);
parent(v) = u;
end
end
end
end
% BFS实现
function S = bfs(T, root)
n = size(T, 1);
S = root;
queue = root;
visited = false(1, n);
visited(root) = true;
while ~isempty(queue)
u = queue(1);
queue(1) = [];
for v = 1:n
if T(u, v) ~= 0 && ~visited(v)
visited(v) = true;
S(end+1) = v;
queue(end+1) = v;
end
end
end
end
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