用matlab根据Steiner最短树性质，分解prim算法求出来的最小生成树MT

以下是用Matlab实现Prim算法求解最小生成树的代码：

function [MT, cost] = prim(graph)
% Prim算法求解最小生成树
% 输入：图的邻接矩阵graph
% 输出：最小生成树MT和生成树的权值cost

n = size(graph, 1); % 图中节点数
cost = Inf(1, n); % cost(i)表示节点i到生成树的最短距离
visited = false(1, n); % visited(i)表示节点i是否已在生成树中
parent = zeros(1, n); % parent(i)表示节点i在生成树中的父节点
MT = zeros(n); % 最小生成树的邻接矩阵

% 从节点1开始，将其加入生成树
visited(1) = true;
cost(1) = 0;
for i = 2:n
    cost(i) = graph(1, i);
    parent(i) = 1;
end

% 重复执行n-1次
for i = 1:n-1
    % 选取未加入生成树且到生成树距离最短的节点j
    min_cost = Inf;
    for j = 1:n
        if ~visited(j) && cost(j) < min_cost
            min_cost = cost(j);
            k = j;
        end
    end
    
    % 将节点k加入生成树
    visited(k) = true;
    MT(k, parent(k)) = graph(k, parent(k));
    MT(parent(k), k) = graph(parent(k), k);
    
    % 更新cost和parent
    for j = 1:n
        if ~visited(j) && graph(k, j) < cost(j)
            cost(j) = graph(k, j);
            parent(j) = k;
        end
    end
end

% 计算生成树的权值
cost = sum(cost);

接下来，我们根据Steiner最短树性质，将Prim算法求解出的最小生成树MT进行分解。

首先，我们需要找到MT中的所有叶节点，即度数为1的节点。这可以通过以下代码实现：

degrees = sum(MT, 2);
leaves = find(degrees == 1)';

然后，对于每个叶节点，我们需要找到与其相连的最近的非叶节点，即其父节点。这可以通过以下代码实现：

parents = zeros(1, length(leaves));
for i = 1:length(leaves)
    node = leaves(i);
    parent = find(MT(node, :));
    while degrees(parent) == 2 % 如果父节点是叶节点，则继续向上找
        parent = find(MT(parent, :));
    end
    parents(i) = parent;
end

最后，我们需要将MT中的每个非叶节点都替换为其与其子树中所有叶节点的Steiner点。这可以通过以下代码实现：

for i = 1:length(parents)
    parent = parents(i);
    subtree = find(MT(parent, :));
    subtree(subtree == parent) = []; % 去掉父节点
    steiner = subtree(1);
    for j = 2:length(subtree)
        steiner = steiner_point(graph, steiner, subtree(j));
    end
    MT(parent, subtree) = 0;
    MT(subtree, parent) = 0;
    MT(parent, steiner) = graph(parent, steiner);
    MT(steiner, parent) = graph(steiner, parent);
end

其中，steiner_point函数是计算两个节点之间的Steiner点的函数，可以使用任何已知的Steiner点算法实现。

最终，MT中的每个非叶节点都被替换为其与其子树中所有叶节点的Steiner点，即得到了MT的分解。完整的代码如下：

function [MT, cost] = steiner_prim(graph)
% Prim算法求解最小生成树
% 输入：图的邻接矩阵graph
% 输出：最小生成树MT和生成树的权值

n = size(graph, 1); % 图中节点数
cost = Inf(1, n); % cost(i)表示节点i到生成树的最短距离
visited = false(1, n); % visited(i)表示节点i是否已在生成树中
parent = zeros(1, n); % parent(i)表示节点i在生成树中的父节点
MT = zeros(n); % 最小生成树的邻接矩阵

% 从节点1开始，将其加入生成树
visited(1) = true;
cost(1) = 0;
for i = 2:n
    cost(i) = graph(1, i);
    parent(i) = 1;
end

% 重复执行n-1次
for i = 1:n-1
    % 选取未加入生成树且到生成树距离最短的节点j
    min_cost = Inf;
    for j = 1:n
        if ~visited(j) && cost(j) < min_cost
            min_cost = cost(j);
            k = j;
        end
    end
    
    % 将节点k加入生成树
    visited(k) = true;
    MT(k, parent(k)) = graph(k, parent(k));
    MT(parent(k), k) = graph(parent(k), k);
    
    % 更新cost和parent
    for j = 1:n
        if ~visited(j) && graph(k, j) < cost(j)
            cost(j) = graph(k, j);
            parent(j) = k;
        end
    end
end

% 计算生成树的权值
cost = sum(cost);

% 分解MT
degrees = sum(MT, 2);
leaves = find(degrees == 1)';
parents = zeros(1, length(leaves));
for i = 1:length(leaves)
    node = leaves(i);
    parent = find(MT(node, :));
    while degrees(parent) == 2 % 如果父节点是叶节点，则继续向上找
        parent = find(MT(parent, :));
    end
    parents(i) = parent;
end
for i = 1:length(parents)
    parent = parents(i);
    subtree = find(MT(parent, :));
    subtree(subtree == parent) = []; % 去掉父节点
    steiner = subtree(1);
    for j = 2:length(subtree)
        steiner = steiner_point(graph, steiner, subtree(j));
    end
    MT(parent, subtree) = 0;
    MT(subtree, parent) = 0;
    MT(parent, steiner) = graph(parent, steiner);
    MT(steiner, parent) = graph(steiner, parent);
end

需要注意的是，由于Steiner点的计算通常比较耗时，因此在实际应用中可能需要使用更高效的算法来计算Steiner点。