图论算法与数据结构：Dijkstra、Prim、最小生成树与网络流

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"常用算法代码" 本资源是一份包含多种常用算法的代码库，主要涵盖图论、网络流和数据结构等多个领域，适用于ACM/ICPC等编程竞赛或算法学习。以下是部分算法的详细说明： ### 图论 1. **DAG的深度优先搜索标记**：在有向无环图(DAG)中，深度优先搜索(DFS)常用于标记节点的访问状态，例如判断环、找出最长路径等。 2. **无向图找桥**：桥是指在无向图中，如果移除该边会导致图产生多个连通分量的边。寻找桥的方法通常基于Tarjan或Kosaraju的算法。 3. **无向图连通度(割)**：计算图的连通分支，即最小割的数量，可以使用DFS或BFS来实现。 4. **最大团问题**：寻找图中最大的完全子图，可采用动态规划(DP)结合DFS解决。 5. **欧拉路径**：找到一个图中的欧拉路径，即从一个顶点出发经过每条边恰好一次返回原点的路径，时间复杂度为O(E)，其中E是边的数量。 6. **Dijkstra算法**：求解单源最短路径问题，有数组实现O(N^2)和优化后的O(E*logE)两种版本。 7. **Bellman-Ford算法**：处理含有负权边的单源最短路径问题，时间复杂度为O(VE)。 8. **SPFA算法**：一种基于队列的优化Dijkstra算法，用于处理带负权边的情况。 9. **第K短路**：找到起点到其他点的第K短路径，可以用Dijkstra或A*算法进行扩展。 10. **A*算法**：启发式搜索算法，结合了Dijkstra的最优性和A函数的启发式信息，用于更快地找到目标路径。 ### 网络流 1. **二分图匹配**：寻找二分图中最大匹配，有DFS和BFS两种实现方式，以及Hopcroft-Carp和Kuhn-Munkres算法。 2. **最小割**：在无向图中找到最小割，解决分配问题，如匈牙利算法。 3. **最大流**：通过Dinic或 HLPP算法寻找网络中最大流量，最小费用流则考虑了路径上的费用。 ### 数据结构 1. **树状数组**：高效处理区间查询和更新的数据结构，常用于求和、统计等问题。这份代码库还包含了其他算法，如拓扑排序、有向图的强连通分量、最小生成森林、最小树形图、最小Steiner树、弦图判断与消除、稳定婚姻问题的解决方案等。这些算法对于理解和解决实际问题具有很高的价值，适合计算机科学与技术领域的学习者和从业者参考。

ct--;

for (int j=0;j<n;j++)

if (g[id][j]<INF){

s[ct].id=j;

s[ct].fi=fi+g[id][j];

s[ct++].gi=s[ct].fi+dist[j];

push_heap(s,s+ct);

}

return -1;

}

int main(){

while (scanf("%d%d%d",&n,&m,&x)!=EOF){

for (int i=0;i<n;i++)

for (int j=0;j<n;j++)

gr[i][j]=g[i][j]=INF;

for (int i=0;i<m;i++){

int x,y,z;

scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);

x--,y--;

g[x][y]<?=z;

gr[y][x]<?=z;

}

init();

printf("%d\n",solve());

}

return 0;

}

/*==================================================*\

| Prim 求 MST

| INIT: cost[][]耗费矩阵(inf为无穷大);

| CALL: prim(cost, n); 返回-1代表原图不连通;

\*==================================================*/

#define typec int // type of cost

const typec inf = 0x3f3f3f3f; // max of cost

int vis[V]; typec lowc[V];

typec prim(typec cost[][V], int n) // vertex: 0 ~ n-1

{

int i, j, p;

typec minc, res = 0;

memset(vis, 0, sizeof(vis));

vis[0] = 1;

for (i=1; i<n; i++) lowc[i] = cost[0][i];

for (i=1; i<n; i++) {

minc = inf; p = -1;

for (j=0; j<n; j++)

if (0 == vis[j] && minc > lowc[j]) {

minc = lowc[j]; p = j;

}

if (inf == minc) return -1; // 原图不连通

res += minc; vis[p] = 1;

for (j=0; j<n; j++)

if (0 == vis[j] && lowc[j] > cost[p][j])

lowc[j] = cost[p][j];

}

return res;

}

/*==================================================*\

| 次小生成树 O(V^2)

\*==================================================*/

结论次小生成树可由最小生成树换一条边得到.

证明: 可以证明下面一个强一些的结论：

T是某一棵最小生成树，T0是任一棵异于T的树，通过变换T0 --> T1 -->

T2 --> ... --> Tn (T) 变成最小生成树.所谓的变换是，每次把T_i

中的

某条边换成T中的一条边, 而且树T_(i+1)的权小于等于T_i的权.

具体操作是：

step 1. 在T_i中任取一条不在T中的边u_v.

step 2. 把边u_v去掉，就剩下两个连通分量A和B，在T中，必有唯一的

边u'_v' 连结A和B.

step 3. 显然u'_v'的权比u_v小 ( 否则,u_v就应该在T中).把u'_v'

替换u_v即得树T_(i+1).

特别地：取Tn为任一棵次小生成树，T_(n-1) 也就是次小生成树且跟T

差一条边. 结论得证.

算法：只要充分利用以上结论, 即得V^2的算法. 具体如下：

step 1. 先用prim求出最小生成树T. 在prim的同时，用一个矩阵

max[u][v] 记录在T中连结任意两点u,v的唯一的路中权值最大的那条边的

权值. (注意这里). 这是很容易做到的，因为prim是每次增加一个结点s, 而

设已经标号了的结点集合为

W, 则W中所有的结点到s的路中的最大权值的边就

是当前加入的这条边. step 1 用时 O(V^2).

step 2. 枚举所有不在T中的边u_v, 加入边u_v替换权为max[u][v]的边.

不断更新求最小值，即次小生成树. step 2 用时 O(E).故总时间为O(V^2).

/*==================================================*\

| 最小生成森林问题(k 颗树)O(mlogm).

\*==================================================*/

数据结构：并查集算法：改进Kruskal

根据Kruskal算法思想，图中的生成树在连完第n-1条边前，都是一个最小生

成森林，每次贪心的选择两个不属于同一连通分量的树（如果连接一个连通分

量，因为不会减少块数，那么就是不合算的）且用最“便宜”的边连起来，连

接n-1次后就形成了一棵MST，n-2次就形成了一个两棵树的最小生成森林，

n-3，……，n-k此后就形成了k颗树的最小生成森林，就是题目要求求解的。

/*==================================================*\

| 有向图最小树形图

| INIT: eg置为边表; res置为0; cp[i]置为i;

| CALL: dirtree(root, nv, ne); res是结果;

\*==================================================*/

#define typec int // type of res

const typec inf = 0x3f3f3f3f; // max of res

typec res, dis[V];

int to[V], cp[V], tag[V];

struct Edge { int u, v; typec c; } eg[E];

int iroot(int i){

if (cp[i] == i) return i;

return cp[i] = iroot(cp[i]);

}

int dirtree(int root, int nv, int ne) // root: 树根

{ // vertex: 0 ~ n-1

int i, j, k, circle = 0;

memset(tag, -1, sizeof(tag));

memset(to, -1, sizeof(to));

for (i = 0; i < nv; ++i) dis[i] = inf;

for (j = 0; j < ne; ++j) {

i = iroot(eg[j].u); k = iroot(eg[j].v);

if (k != i && dis[k] > eg[j].c) {

dis[k] = eg[j].c;

to[k] = i;

}

to[root] = -1; dis[root] = 0; tag[root] = root;

for (i = 0; i < nv; ++i) if (cp[i] == i && -1 == tag[i]){

j = i;

for ( ; j != -1 && tag[j] == -1; j = to[j])

tag[j] = i;

if (j == -1) return 0;

if (tag[j] == i) {

circle = 1; tag[j] = -2;

for (k = to[j]; k != j; k = to[k]) tag[k] = -2;

}

if (circle) {

for (j = 0; j < ne; ++j) {

i = iroot(eg[j].u); k = iroot(eg[j].v);

if (k != i && tag[k] == -2) eg[j].c -= dis[k];

}

for (i = 0; i < nv; ++i) if (tag[i] == -2) {

res += dis[i]; tag[i] = 0;

for (j = to[i]; j != i; j = to[j]) {

res += dis[j]; cp[j] = i; tag[j] = 0;

}

if (0 == dirtree(root, nv, ne)) return 0;

} else {

for (i = 0; i < nv; ++i) if (cp[i] == i) res +=

dis[i];

}

return 1; // 若返回0代表原图不连通

}

/*==================================================*\

| Minimal Steiner Tree

| G(V, E), A是V的一个子集, 求至少包含A中所有点的最小子树.

| 时间复杂度: O(N^3 + N * 2^A * (2^A + N))

| INIT: d[][]距离矩阵; id[]置为集合A中点的标号;

| CALL: steiner(int n, int a);

| main()函数解决的题目: Ticket to Ride, NWERC 2006/2007

| 给4个点对(a1, b1) ... (a4, b4),

| 求min(sigma(dist[ai][bi])),其中重复的路段只能算一次

| 这题要找出一个steiner森林, 最后要对森林中树的个数进行枚举

\*==================================================*/

#define typec int // type of cost

const typec inf = 0x3f3f3f3f; // max of cost

int vis[V], id[A]; //id[]: A中点的标号

typec d[V][V], dp[1<<A][V];//dp[i][v]: 点v到点集i的最短距离

void steiner(int n, int a){

int i, j, k, mx, mk, top = (1 << a);

for (k = 0; k < n; k++) for (i = 0; i < n; i++)

for (j = 0; j < n; j++)

if (d[i][j] > d[i][k] + d[k][j])

d[i][j] = d[i][k] + d[k][j];

for (i = 0; i < a; i++) { // vertex: 0 ~ n-1

for (j = 0; j < n; j++)

dp[1 << i][j] = d[j][ id[i] ];

}

for (i = 1; i < top; i++) {

if ( 0 == (i & (i - 1)) ) continue;

memset(vis, 0, sizeof(vis));

for (k = 0; k < n; k++) { // init

for (dp[i][k] = inf, j = 1; j < i; j++)

if ((i | j) == i &&

dp[i][k] > dp[j][k] + dp[i - j][k])

dp[i][k] = dp[j][k] + dp[i - j][k];

}

for (j = 0; mx = inf, j < n; j++) { // update

for (k = 0; k < n; k++)

if (dp[i][k] <= mx && 0 == vis[k])

mx = dp[i][mk = k];

for (k = 0, vis[mk] = 1; k < n; k++)

if (dp[i][mk] > dp[i][k] + d[k][mk])

dp[i][mk] = dp[i][k] + d[k][mk];

}

int main(void){

int n, a = 8;

// TODO: read data;

steiner(n, a);

// enum to find the result

for (i = 0, b = inf; z = 0, i < 256; b>z ? b=z : b, i++)

for (j = 0; y = 0, j < 4; z += !!y * dp[y][x], j++)

for (k = 0; k < 8; k += 2)

if ((i >> k & 3) == j)

y += 3 << k, x = id[k];

// TODO: cout << b << endl;

return 0;

}

/*==================================================*\

| Tarjan 强连通分量

| INIT: vec[]为邻接表; stop, cnt, scnt置0; pre[]置-1;

| CALL: for(i=0; i<n; ++i) if(-1==pre[i]) tarjan(i, n);

\*==================================================*/

vector<int> vec[V];

int id[V], pre[V], low[V], s[V], stop, cnt, scnt;

void tarjan(int v, int n) // vertex: 0 ~ n-1

{

int t, minc = low[v] = pre[v] = cnt++;

vector<int>::iterator pv;

s[stop++] = v;

for (pv = vec[v].begin(); pv != vec[v].end(); ++pv) {

if(-1 == pre[*pv]) tarjan(*pv, n);

if(low[*pv] < minc) minc=low[*pv];

}

if(minc < low[v]) {

low[v] = minc; return;

}

do {

id[t = s[--stop]] = scnt; low[t] = n;

} while(t != v);

++scnt; // 强连通分量的个数

}

/*==================================================*\

| 弦图判断

| INIT: g[][]置为邻接矩阵;

| CALL: mcs(n); peo(n);

| 第一步: 给节点编号 mcs(n)

| 设已编号的节点集合为A, 未编号的节点集合为B

| 开始时A为空, B包含所有节点.

| for num=n-1 downto 0 do {

| 在B中找节点x, 使与x相邻的在A集合中的节点数最多,

| 将x编号为num, 并从B移入A.

| }

| 第二步: 检查 peo(n)

| for num=0 to n-1 do {

| 对编号为num的点x, 设所有编号>num且与x相邻的点集为C

| 在C中找出编号最小的节点y,

| 若C中存在点z!=y, 使得y与z之间无边, 则此图不是弦图.

| }

| 检查完了, 则此图是弦图.

\*==================================================*/

int g[V][V], order[V], inv[V], tag[V];

void mcs(int n){

int i, j, k;

memset(tag, 0, sizeof(tag));

memset(order, -1, sizeof(order));

for (i = n - 1; i >= 0; i--) { // vertex: 0 ~ n-1

for (j = 0; order[j] >= 0; j++) ;

for (k = j + 1; k < n; k++)

if (order[k] < 0 && tag[k] > tag[j]) j = k;

order[j] = i, inv[i] = j;

for (k = 0; k < n; k++) if (g[j][k]) tag[k]++;

}

int peo(int n){

int i, j, k, w, min;

for (i = n - 2; i >= 0; i--) {

j = inv[i], w = -1, min = n;

for (k = 0; k < n; k++)

(g[j][k] && order[k] > order[j] &&

order[k] < min)

min = order[k], w=k;

if (w < 0) continue;

for (k = 0; k < n; k++)

if (g[j][k] && order[k] > order[w] && !g[k][w])

return 0; // no

}

return 1; // yes

}

/*==================================================*\

| 弦图的 perfect elimination 点排列

| INIT: g[][]置为邻接矩阵;

| CALL: cardinality(n); tag[i]为排列中第i个点的标号;

| The graph with the property mentioned above

| is called chordal graph. A permutation s = [v1 , v2,

| ..., vn] of the vertices of such graph is called a

| perfect elimination order if each vi is a simplicial

| vertex of the subgraph of G induced by {vi ,..., vn}.

| A vertex is called simplicial if its adjacency set

| induces a complete subgraph, that is, a clique (not

| necessarily maximal). The perfect elimination order

| of a chordal graph can be computed as the following:

\*==================================================*/

procedure maximum cardinality search(G, s)

for all vertices v of G do

set label[v] to zero

end for

for all i from n downto 1 do

choose an unnumbered vertex v with largest label

set s(v) to i{number vertex v}

for all unnumbered vertices w adjacent to vertex v do

increment label[w] by one

end for

end procedure

int tag[V], g[V][V], deg[V], vis[V];

void cardinality(int n)

{

int i, j, k;

memset(deg, 0, sizeof(deg));

memset(vis, 0, sizeof(vis));

for (i = n - 1; i >= 0; i--) {

for (j = 0, k = -1; j < n; j++) if (0 == vis[j]) {

if (k == -1 || deg[j] > deg[k]) k = j;

}

vis[k] = 1, tag[i] = k;

for (j = 0; j<n; j++)

if (0 == vis[j] && g[k][j]) deg[j]++;

}

/*==================================================*\

| 稳定婚姻问题 O(n^2)

\*==================================================*/

const int N = 1001;

struct People{

bool state;

int opp, tag;

int list[N]; // man使用

int priority[N]; // woman使用, 有必要的话可以和list合并，

以节省空间

void Init(){ state = tag = 0; }

}man[N], woman[N];

struct R{

int opp; int own;

}requst[N];

int n;

void Input(void);

void Output(void);

void stableMatching(void);

int main(void){

//...

Input();

stableMatching();

Output();

//...

return 0;

}

void Input(void){

scanf("%d\n", &n);

int i, j, ch;

for( i=0; i < n; ++i ) {

man[i].Init();

for( j=0; j < n; ++j ){ //按照man的意愿递减排序

scanf("%d", &ch); man[i].list[j] = ch-1;

}

for( i=0; i < n; ++i ) {

woman[i].Init();

for( j=0; j < n; ++j ){ //按照woman的意愿递减排序，

但是，存储方法与man不同！！！！

scanf("%d", &ch); woman[i].priority[ch-1] = j;

}

void stableMatching(void){

int k;

for( k=0; k < n; +k ){

int i, id = 0;

for( i=0; i < n; ++i )

if( man[i].state == 0 ){

requst[id].opp =

man[i].list[ man[i].tag ];

requst[id].own = i;

man[i].tag += 1; ++id;

}

if( id == 0 ) break;

for( i=0; i < id; ++i ){

if( woman[requst[i].opp].state == 0 ){

woman[requst[i].opp].opp =

requst[i].own;

woman[requst[i].opp].state = 1;

man[requst[i].own].state = 1;

man[requst[i].own].opp =

requst[i].opp;

}

else{

if( woman[requst[i].opp].priority[ woman[requst[i].o

pp].opp ] >

woman[requst[i].opp].priority[requst[i].own] ){ //

man[ woman[requst[i].opp].opp ].state = 0;

woman[ requst[i].opp ].opp =

requst[i].own;

man[requst[i].own].state = 1;

man[requst[i].own].opp =

requst[i].opp;

}

void Output(void){

for( int i=0; i < n; ++i ) printf("%d\n", man[i].opp+1);

}

/*==================================================*\

| 拓扑排序

| INIT:edge[][]置为图的邻接矩阵;count[0…i…n-1]:顶点i的入度.

\*==================================================*/

void TopoOrder(int n){

int i, top = -1;

for( i=0; i < n; ++i )

if( count[i] == 0 ){ // 下标模拟堆栈

count[i] = top; top = i;

}

for( i=0; i < n; ++i )

if( top == -1 ) { printf("存在回路\n"); return ; }

else{

int j = top; top = count[top];

printf("%d", j);

for( int k=0; k < n; ++k )

if( edge[j][k] && (--count[k]) == 0 ){

count[k] = top; top = k;

}

/*==================================================*\

| 无向图连通分支(dfs/bfs 邻接阵)

| DFS / BFS / 并查集

\*==================================================*/

/*==================================================*\

| 有向图强连通分支(dfs/bfs 邻接阵)O(n^2)

\*==================================================*/

//返回分支数,id返回1..分支数的值

//传入图的大小n和邻接阵mat,不相邻点边权0

#define MAXN 100

void search(int n,int mat[][MAXN],int* dfn,int* low,int

now,int& cnt,int& tag,int* id,int* st,int& sp){

int i,j;

dfn[st[sp++]=now]=low[now]=++cnt;

for (i=0;i<n;i++)

if (mat[now][i]){

if (!dfn[i]){

search(n,mat,dfn,low,i,cnt,tag,id,st,sp);

if (low[i]<low[now])

low[now]=low[i];

}

else if (dfn[i]<dfn[now]){

for (j=0;j<sp&&st[j]!=i;j++);

if (j<cnt&&dfn[i]<low[now])

low[now]=dfn[i];

}

if (low[now]==dfn[now])

for (tag++;st[sp]!=now;id[st[--sp]]=tag);

}

int find_components(int n,int mat[][MAXN],int* id){

int ret=0,i,cnt,sp,st[MAXN],dfn[MAXN],low[MAXN];

for (i=0;i<n;dfn[i++]=0);

for (sp=cnt=i=0;i<n;i++)

if (!dfn[i])

search(n,mat,dfn,low,i,cnt,ret,id,st,sp);

return ret;

}

//有向图强连通分支,bfs邻接阵形式,O(n^2)

//返回分支数,id返回1..分支数的值

//传入图的大小n和邻接阵

mat,不相邻点边权0

#define MAXN 100

int find_components(int n,int mat[][MAXN],int* id){

int ret=0,a[MAXN],b[MAXN],c[MAXN],d[MAXN],i,j,k,t;

for (k=0;k<n;id[k++]=0);

for (k=0;k<n;k++)

if (!id[k]){

for (i=0;i<n;i++)

a[i]=b[i]=c[i]=d[i]=0;

a[k]=b[k]=1;

for (t=1;t;)

for (t=i=0;i<n;i++){

if (a[i]&&!c[i])

for (c[i]=t=1,j=0;j<n;j++)

if (mat[i][j]&&!a[j])

a[j]=1;

if (b[i]&&!d[i])

for (d[i]=t=1,j=0;j<n;j++)

if (mat[j][i]&&!b[j])

b[j]=1;

}

for (ret++,i=0;i<n;i++)

if (a[i]&b[i])

id[i]=ret;

}

return ret;

}

/*==================================================*\

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