二阶椭圆微分方程极大值原理,细说
时间: 2023-11-12 11:53:59 浏览: 42
二阶椭圆微分方程是指形如下面的方程:
$$
Lu=-\sum_{i,j=1}^n \frac{\partial}{\partial x_i} \left(a_{ij}(x)\frac{\partial u}{\partial x_j}\right) + \sum_{i=1}^n b_i(x)\frac{\partial u}{\partial x_i} + c(x)u = f(x)
$$
其中 $a_{ij}(x)$ 是对称正定矩阵,$b_i(x)$,$c(x)$,$f(x)$ 都是光滑函数。
极大值原理是二阶椭圆微分方程的一个重要性质,它表明如果 $u$ 是方程的解,在区域 $\Omega$ 内取到了极大值,则 $u$ 在 $\Omega$ 内是常数。
具体来说,设 $u$ 在 $\Omega$ 内取到了极大值 $M$,即 $u(x) \leq M$ 对所有 $x \in \Omega$ 成立。那么取 $\varepsilon > 0$,定义如下的集合:
$$
\Omega_\varepsilon = \{x \in \Omega : u(x) \geq M - \varepsilon\}
$$
显然 $\Omega_\varepsilon$ 是 $\Omega$ 的子集,且 $\Omega_\varepsilon$ 是开集,因为 $u$ 是光滑函数。考虑在 $\Omega_\varepsilon$ 内的点 $x$,对于任意的 $h > 0$,定义 $y=h \mathbf{e}_i+x$,其中 $\mathbf{e}_i$ 是第 $i$ 个坐标轴的单位向量。由于 $u$ 在 $\Omega$ 内取到了极大值 $M$,所以 $u(y) \leq M$,那么:
$$
\begin{aligned}
0 &\leq \frac{1}{h^2} \left(2\left(u(y)-u(x)\right) + h^2 \sum_{j,k=1}^n a_{jk}(x) \frac{\partial^2 u}{\partial x_j \partial x_k}(x) \right) \\
&= \frac{2}{h^2}\left(u(y)-u(x)\right) + \sum_{j,k=1}^n a_{jk}(x) \frac{\partial^2 u}{\partial x_j \partial x_k}(x) \\
&\leq \frac{2}{h^2}\left(u(y)-u(x)\right) + \lambda \sum_{j=1}^n \left(\frac{\partial u}{\partial x_j}\right)^2(x) \\
&\leq \frac{2}{h^2}\left(M-\left(M-\varepsilon\right)\right) + \lambda \sum_{j=1}^n \left(\frac{\partial u}{\partial x_j}\right)^2(x) \\
&= \frac{2\varepsilon}{h^2} + \lambda \sum_{j=1}^n \left(\frac{\partial u}{\partial x_j}\right)^2(x)
\end{aligned}
$$
其中 $\lambda$ 是 $a_{ij}(x)$ 的最小特征值。由于 $a_{ij}(x)$ 是对称正定矩阵,所以 $\lambda$ 是正数。取 $h$ 趋于 $0$,可以得到:
$$
\sum_{j=1}^n \left(\frac{\partial u}{\partial x_j}\right)^2(x) \geq 0
$$
所以对于任意的 $x \in \Omega_\varepsilon$,有 $\frac{\partial u}{\partial x_1}(x)=\cdots=\frac{\partial u}{\partial x_n}(x)=0$。因此 $\Omega_\varepsilon$ 是闭集,且 $\Omega \subset \bigcup_{\varepsilon>0} \Omega_\varepsilon$。由于 $\Omega$ 是有限区域,所以存在一个 $\varepsilon_0 > 0$,使得 $\Omega_{\varepsilon_0}=\Omega$。因此 $u$ 在 $\Omega$ 内恒等于 $M$,即 $u$ 在 $\Omega$ 内是常数。
综上所述,二阶椭圆微分方程的极大值原理表明如果解在区域内取到了极大值,则该解在该区域内是常数。
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