如果有一个正整数N,能被2520整除,则N就是完美数。 现有一个非常大的正整数M,最高位为1,其余均为0,请计算在 [ 1 , ] [1,M]范围内有多少个完美数。
时间: 2024-02-06 10:11:14 浏览: 14
根据题目,我们需要计算在 $[1, M]$ 范围内有多少个能被 $2520$ 整除的正整数。我们可以先计算 $2520$ 的质因数分解:$2520=2^3 \times 3^2 \times 5 \times 7$。
对于一个正整数 $N$,如果它能被 $2520$ 整除,那么它就必须包含 $2^3$、$3^2$、$5$、$7$ 这些质因子。我们可以枚举每个质因子的指数,然后计算包含这些质因子的正整数的个数。具体地,设 $c_2, c_3, c_5, c_7$ 分别表示包含 $2^3$、$3^2$、$5$、$7$ 的质因子的正整数的个数,则有:
$$
c_2 = \lfloor \log_2 M \rfloor - 2 + 1 = \lfloor \log_2 M \rfloor - 1
$$
其中 $\lfloor x \rfloor$ 表示不超过 $x$ 的最大整数。因为最高位为 $1$,所以我们需要减去 $2$,然后加上 $1$,得到的结果是不超过 $\lfloor \log_2 M \rfloor - 1$ 的最大整数个数满足条件。
同理,我们可以得到:
$$
c_3 = \lfloor \log_3 M \rfloor - 2 + 1 = \lfloor \log_3 M \rfloor - 1 \\
c_5 = \lfloor \log_5 M \rfloor - 1 + 1 = \lfloor \log_5 M \rfloor \\
c_7 = \lfloor \log_7 M \rfloor - 1 + 1 = \lfloor \log_7 M \rfloor
$$
因此,在 $[1, M]$ 范围内有 $c_2 \times c_3 \times c_5 \times c_7$ 个完美数。代码实现如下:
```python
import math
M = 10 ** 100
c2 = math.floor(math.log2(M)) - 1
c3 = math.floor(math.log(M, 3)) - 1
c5 = math.floor(math.log(M, 5))
c7 = math.floor(math.log(M, 7))
ans = c2 * c3 * c5 * c7
print(ans)
```
注意,这里的 $M$ 是一个非常大的正整数,所以我们需要使用高精度计算。由于 Python 自带高精度计算,因此我们可以直接使用 Python 进行计算。
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