二次型f=2x*x+2x*y+y*y+1x*z+z*z的正惯性指数为

要求二次型 $f(x,y,z)=2x^2+2xy+y^2+xz+z^2$ 的正惯性指数，可以先将其化为矩阵形式，即：

$$
\begin{pmatrix} x & y & z \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 2 & 1 & \frac{1}{2} \\ 1 & 2 & 0 \\ \frac{1}{2} & 0 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}
$$

然后通过对称矩阵的特征值和特征向量来求解正负惯性指数。这里不再赘述具体的计算过程，最终结果为：

正惯性指数为 $\boxed{3}$。

相关问题

二次型f=2xx+2xy+yy+1xz+z*z的正惯性指数是2吗

二次型 $f(x,y,z)=2x^2+2xy+y^2+xz+z^2$ 的正惯性指数并不是2。

要求二次型的正惯性指数，可以通过将其化为矩阵形式，然后计算矩阵的正定子式的个数。具体来说，如果矩阵的正定子式个数为$p$，则二次型的正惯性指数为$p$。

将二次型 $f(x,y,z)$ 化为矩阵形式为：

$$
A=\begin{pmatrix}2 & 1 & \frac{1}{2} \\ 1 & 2 & 0 \\ \frac{1}{2} & 0 & 1\end{pmatrix}
$$

计算矩阵的三个主子式：

$$
\begin{aligned}
D_1 &= \begin{vmatrix} 2 \end{vmatrix} = 2 > 0 \\
D_2 &= \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 3 > 0 \\
D_3 &= \begin{vmatrix} 2 & 1 & \frac{1}{2} \\ 1 & 2 & 0 \\ \frac{1}{2} & 0 & 1 \end{vmatrix} = \frac{9}{4} > 0
\end{aligned}
$$

因为矩阵 $A$ 的三个主子式均大于0，所以矩阵 $A$ 是正定矩阵，即二次型 $f(x,y,z)$ 是正定二次型，其正惯性指数 $p=3$。

因此，二次型 $f(x,y,z)$ 的正惯性指数不是2，而是 $\boxed{3}$。

用matlab求一个正交变换,化二次型f=2*x1*x2+2*x1*x3+2*x2*x3+2*x4*x4为标准型

首先，我们需要将二次型矩阵表示出来：

A = [0 1 1 0;
     1 0 1 0;
     1 1 0 0;
     0 0 0 2];

接下来，我们需要求出 A 的特征值和特征向量，以便进行正交变换。

[V, D] = eig(A);

其中，V 是 A 的特征向量矩阵，D 是 A 的特征值矩阵。

由于 A 是实对称矩阵，所以其特征向量是正交的，可以直接用 V 做正交变换矩阵。

Q = V;

接下来，我们需要将二次型 f 用正交变换变为标准型 g。

g = transpose(x) * Q * A * Q * x

将 f 代入，得到：

g = 2*y1^2 + 2*(y2 + y3)^2 + 2*y4^2

这就是化二次型 f 为标准型的结果。

需要注意的是，Q 并不是唯一的，因此得到的标准型也不是唯一的。