二次型f=2xx+2xy+yy+1xz+z*z的正惯性指数是2吗
时间: 2023-08-15 16:06:01 浏览: 48
二次型 $f(x,y,z)=2x^2+2xy+y^2+xz+z^2$ 的正惯性指数并不是2。
要求二次型的正惯性指数,可以通过将其化为矩阵形式,然后计算矩阵的正定子式的个数。具体来说,如果矩阵的正定子式个数为$p$,则二次型的正惯性指数为$p$。
将二次型 $f(x,y,z)$ 化为矩阵形式为:
$$
A=\begin{pmatrix}2 & 1 & \frac{1}{2} \\ 1 & 2 & 0 \\ \frac{1}{2} & 0 & 1\end{pmatrix}
$$
计算矩阵的三个主子式:
$$
\begin{aligned}
D_1 &= \begin{vmatrix} 2 \end{vmatrix} = 2 > 0 \\
D_2 &= \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 3 > 0 \\
D_3 &= \begin{vmatrix} 2 & 1 & \frac{1}{2} \\ 1 & 2 & 0 \\ \frac{1}{2} & 0 & 1 \end{vmatrix} = \frac{9}{4} > 0
\end{aligned}
$$
因为矩阵 $A$ 的三个主子式均大于0,所以矩阵 $A$ 是正定矩阵,即二次型 $f(x,y,z)$ 是正定二次型,其正惯性指数 $p=3$。
因此,二次型 $f(x,y,z)$ 的正惯性指数不是2,而是 $\boxed{3}$。
相关问题
二次型f=2x*x+2x*y+y*y+1x*z+z*z的正惯性指数为
要求二次型 $f(x,y,z)=2x^2+2xy+y^2+xz+z^2$ 的正惯性指数,可以先将其化为矩阵形式,即:
$$
\begin{pmatrix} x & y & z \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 2 & 1 & \frac{1}{2} \\ 1 & 2 & 0 \\ \frac{1}{2} & 0 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}
$$
然后通过对称矩阵的特征值和特征向量来求解正负惯性指数。这里不再赘述具体的计算过程,最终结果为:
正惯性指数为 $\boxed{3}$。
当 t 满足什么条件,使二次型 f=x12+2x22+3x32+2x1x2-2x1x3+2tx2x3是正定的。
首先,对于一个二次型矩阵为正定的必要条件是其所有特征值均为正数。因此,我们可以先求出该二次型的特征值。
二次型矩阵为:
$$
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 0 \\
-1 & 2t & 2 \\
0 & 2 & 3
\end{pmatrix}
$$
计算其特征多项式:
$$
\begin{aligned}
|\lambda I - A| &= \begin{vmatrix}
\lambda - 1 & 1 & 0 \\
1 & \lambda - 2t & -2 \\
0 & -2 & \lambda - 3
\end{vmatrix} \\
&= (\lambda - 1)(\lambda - 2t)(\lambda - 3) + 4 - 2(\lambda - 1)(\lambda - 3) \\
&= \lambda^3 - (6 + 2t)\lambda^2 + (9 + 4t)\lambda - 4
\end{aligned}
$$
根据特征多项式的性质,该矩阵的特征值为方程 $|\lambda I - A| = 0$ 的解。因此,我们需要求解如下方程:
$$
\lambda^3 - (6 + 2t)\lambda^2 + (9 + 4t)\lambda - 4 = 0
$$
可以使用 Vieta 定理求出该方程的根之和、根之积和两两之积之和:
$$
\begin{aligned}
&\sum \lambda_i = 6 + 2t \\
&\prod \lambda_i = 4 \\
&\sum_{i < j} \lambda_i \lambda_j = 9 + 4t
\end{aligned}
$$
二次型矩阵为正定的充分必要条件是其所有特征值均为正数,因此我们需要保证所有特征值均大于零。根据 Vieta 定理,我们可以得到:
$$
\lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 = 4 > 0
$$
因此,$\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ 不能都为负数。考虑当 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ 均为正数时,可以得到:
$$
\begin{aligned}
&\sum \lambda_i = 6 + 2t > 0 \\
&\sum_{i < j} \lambda_i \lambda_j = 9 + 4t > 0 \\
&\lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 = 4 > 0
\end{aligned}
$$
由于 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ 均为正数,因此上述三个不等式等价于:
$$
\begin{aligned}
&\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 > 0 \\
&\lambda_1 \lambda_2 + \lambda_1 \lambda_3 + \lambda_2 \lambda_3 > 0 \\
&\lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 > 0
\end{aligned}
$$
将 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ 的值代入上述不等式中,可以得到:
$$
\begin{aligned}
&6 + 2t > 0 \\
&(1 - 2t)(3 - \lambda_1) + 2(1 - \lambda_1) > 0 \\
&\lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 > 0
\end{aligned}
$$
化简第二个不等式,可以得到:
$$
\lambda_1 - 2t \lambda_1 + 2\lambda_1 > 5 - 2t
$$
即:
$$
\lambda_1 > \frac{5 - 2t}{\lambda_2 + 2\lambda_3 - 2t}
$$
因此,为了保证二次型矩阵为正定,需要满足:
$$
\begin{aligned}
&6 + 2t > 0 \\
&\frac{5 - 2t}{\lambda_2 + 2\lambda_3 - 2t} > 0 \\
&\lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 > 0
\end{aligned}
$$
其中,$\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ 是方程 $\lambda^3 - (6 + 2t)\lambda^2 + (9 + 4t)\lambda - 4 = 0$ 的解。