目标函数 f : R2 → R 为 f (x1, x2) = 3 2 x2 1 + 10 2 x2 2 + (1 + a)x1x2 − (x1 + x2) + b 其中参数 a,b 是未知实数. (a) 将函数写成二次型的向量表达式. (b) 确定 a,b 的取值范围, 使得 f 存在唯一的全局极小值点, 并求出极 小值点 (c) 设 f 存在唯一的全局极小值点, 采用固定步长的梯度下降法求 f 的极小值, 迭代公式为 xk+1 = xk − α ▽ f (xk) 确定 α 的取值范围, 使得对于任意初始

向量 x0, 梯度下降法可以收敛到全局极小值点。

a) 二次型的向量表达式为 f(x) = (x^T * A * x) + (b^T * x) + c，
其中 A = [[0, 0], [0, 15]], b = [-b, b], c = 0. 因此，f(x) = 15x_2^2 - bx_1x_2 + bx_1 - bx_2.

b) 首先我们需要求出 Hessian 矩阵 H = [[f_xx, f_xy], [f_xy, f_yy]] 和判别式 Δ = det(H) = (225b^2 - 4b^3) / 9. 如果 Δ>0 且 H 的所有特征值都是正数，则 f 存在唯一的全局极小值点。解方程 ∂f/∂x1 = 0 和 ∂f/∂x2 = 0 得到唯一的解为 (x_1, x_2) = (b / (1-a), 0). 进一步地，由于 H 是对称实矩阵，我们可以用特征值判别法来确定 H 的所有特征值符号。我们有 Δ < 0 当且仅当 b 在 (0, 225/4) 的开区间内，此时有一个正特征值和一个负特征值，所以我们需要限制 b 的取值在 (0, 225/4) 中，才能保证 f 存在唯一的全局极小值点。

c) 由于梯度下降法需要迭代求解，为了保证其收敛到全局最优解，我们需要选择合适的学习率 α。根据理论分析，我们有 α ∈ (0, 2 / (15 + b^2)) 才能保证梯度下降算法收敛到全局最优值。

相关问题

已知函数 y = f(x1,x2) = x1²＋x2²，其中，-10≤x1,x2≤10，用粒子群优化算法求解y的最小值，使用python编写代码，写出完整的程序，并且有图形化界面

粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization, PSO）是一种模拟鸟群觅食行为的搜索算法，用于解决全局优化问题。对于给定函数 `y = f(x1, x2) = x1^2 + x2^2`，我们需要找到在约束条件 `-10 <= x1, x2 <= 10` 下使其最小化的 `(x1, x2)` 点。

以下是使用Python和matplotlib库实现PSO以及简单图形化展示的过程：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义目标函数和约束条件
def objective_function(position):
    return position[:, 0]**2 + position[:, 1]**2

def is_valid(position):
    return -10 <= position[:, 0] <= 10 and -10 <= position[:, 1] <= 10

# 初始化PSO参数
n_particles = 50   # 鸟的数量
w = 0.7          # 学习因子
c1 = 2           # 加速度常数
c2 = 2           # 移动常数
max_iter = 1000   # 迭代次数
dim = 2          # 维度

# 初始化粒子位置和速度
position = np.random.uniform(-10, 10, (n_particles, dim))
velocity = np.zeros_like(position)
best_positions = position.copy()
global_best_position = position[np.argmin(objective_function(position))]

for _ in range(max_iter):
    for i in range(n_particles):
        r1, r2 = np.random.rand(dim), np.random.rand(dim)
        new_velocity = w * velocity[i] + c1 * r1 * (best_positions[i] - position[i]) + c2 * r2 * (global_best_position - position[i])
        if is_valid(new_velocity):
            position[i] += new_velocity
        if objective_function(position[i]) < objective_function(best_positions[i]):
            best_positions[i] = position[i]
            if objective_function(position[i]) < objective_function(global_best_position):
                global_best_position = position[i]

# 图形化结果
plt.scatter(best_positions[:, 0], best_positions[:, 1], label='Best positions')
plt.plot(global_best_position[0], global_best_position[1], 'ro', markersize=10, label='Global best position')
plt.xlabel('X1')
plt.ylabel('X2')
plt.legend()
plt.title('Minimum of y = x1^2 + x2^2 using Particle Swarm Optimization')
plt.show()

[n1 n2]=size(BW); r=floor(n1/10); c=floor(n2/10); x1=1;x2=r; s=r*c; for i=1:10 y1=1;y2=c; for j=1:10 if (y2<=c | y2>=9*c) | (x1==1 | x2==r*10) loc=find(BW(x1:x2, y1:y2)==0); [o p]=size(loc); pr=o*100/s; if pr<=100 BW(x1:x2, y1:y2)=0; r1=x1;r2=x2;s1=y1;s2=y2; pr1=0; end imshow(BW); end y1=y1+c; y2=y2+c; end x1=x1+r; x2=x2+r; end figure,imshow(BW) 分析一下这段代码的功能并且讲解一下每个部分。

这段MATLAB代码的功能是将二值图像中某些区域中白色像素占比过低的部分置为黑色，从而实现图像的分割处理。

下面是这段代码的详细解释：

1. `[n1 n2]=size(BW)`：获取二值图像 `BW` 的行数和列数，分别赋值给 `n1` 和 `n2`。

2. `r=floor(n1/10); c=floor(n2/10);`：计算将图像分为 10 行 10 列的子块时，每个子块的行数和列数。

3. `x1=1;x2=r; s=r*c;`：初始化子块的坐标和面积。

4. `for i=1:10`：对于每一行子块执行以下操作。

5. `y1=1;y2=c;`：初始化子块的列坐标。

6. `for j=1:10`：对于每一列子块执行以下操作。

7. `if (y2<=c | y2>=9*c) | (x1==1 | x2==r*10)`：判断当前子块是否在图像的上下边缘或左右边缘。

8. `loc=find(BW(x1:x2, y1:y2)==0);`：在当前子块中查找所有白色像素的位置。

9. `[o p]=size(loc);`：获取白色像素的数量。

10. `pr=o*100/s;`：计算当前子块中白色像素的占比。

11. `if pr<=100`：如果白色像素的占比小于等于 100%。

12. `BW(x1:x2, y1:y2)=0;`：将当前子块中所有像素设为黑色。

13. `r1=x1;r2=x2;s1=y1;s2=y2; pr1=0;`：记录最后一个满足条件的子块的位置和白色像素占比。

14. `imshow(BW);`：显示当前处理的结果。

15. `y1=y1+c; y2=y2+c;`：更新子块的列坐标。

16. `x1=x1+r; x2=x2+r;`：更新子块的行坐标。

17. `figure,imshow(BW)`：显示最终处理结果。

总的来说，这段代码的作用是对图像进行分块处理，然后检查每个子块中白色像素的占比，如果占比过低，则将该子块中的所有像素设为黑色。这样就可以将图像中某些区域中白色像素过少的部分分割出来，从而更好地进行后续处理。