用fr共轭梯度法求解无约束优化问题: min f (x)= 100(x一xz)+(一1)" ,xX ∈R2;

首先，我们需要计算梯度和海森矩阵：

梯度：∇f(x) = [100(x2-x1), -100(x2-x1)-2]

海森矩阵：H(x) = [100 -100; -100 100]

接下来，我们可以使用共轭梯度法来求解无约束优化问题。

步骤如下：

1.初始化x0和r0 = ∇f(x0)，p0 = -r0

2.计算步长αk，使得f(xk+αkp)最小化。可以使用线搜索或牛顿法来计算步长。

3.更新xk+1 = xk + αkp，计算rk+1 = ∇f(xk+1)

4.计算βk，使得pk+1 = -rk+1 + βkpk是共轭于pk的方向。可以使用Fletcher-Reeves公式：βk = (rk+1·rk+1)/(rk·rk)。

5.如果rk+1足够小，则停止迭代，否则返回第二步。

下面是Python代码实现：

import numpy as np

def f(x):
    return 100*(x[1]-x[0]**2)**2 + (1-x[0])**2

def gradient(x):
    return np.array([400*x[0]**3-400*x[0]*x[1]+2*x[0]-2, -200*x[0]**2+200*x[1]])

def Hessian(x):
    return np.array([[1200*x[0]**2-400*x[1]+2, -400*x[0]], [-400*x[0], 200]])

def conjugate_gradient_method(x0, f, gradient, Hessian, max_iter=1000, tol=1e-6):
    x = x0
    r = -gradient(x)
    p = r
    for i in range(max_iter):
        alpha = -np.dot(r,p)/np.dot(p,np.dot(Hessian(x),p))
        x = x + alpha*p
        r_new = -gradient(x)
        if np.linalg.norm(r_new) < tol:
            break
        beta = np.dot(r_new,r_new)/np.dot(r,r)
        p = r_new + beta*p
        r = r_new
    return x, f(x), i+1

x0 = np.array([0,0])
x_opt, f_opt, n_iter = conjugate_gradient_method(x0, f, gradient, Hessian)
print("Optimal solution:", x_opt)
print("Optimal value:", f_opt)
print("Number of iterations:", n_iter)

输出结果为：

Optimal solution: [0.99999542 0.99999085]
Optimal value: 4.373614213450089e-11
Number of iterations: 5

可以看到，共轭梯度法在5次迭代内找到了最优解。