用配方法把下列二次型化为标准型,并求出所用线性变换的矩阵,f(x)=x1x2+2x1x3-6x2x3
时间: 2024-02-29 21:56:45 浏览: 121
6用配方法化二次型为标准型.pptx
二次型f(x)可以表示为矩阵的形式:$f(x)=\begin{bmatrix}x_1 & x_2 & x_3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0 & \frac{1}{2} & 1 \\ \frac{1}{2} & 0 & -3 \\ 1 & -3 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{bmatrix}$
为了将其化为标准型,需要对矩阵进行配方法,即找到一个可逆矩阵P,使得$P^TAP$为对角矩阵。其中,P的列向量就是线性变换的基向量,即新的坐标系下的基向量。
现在,我们开始配方法:
$\begin{bmatrix}0 & \frac{1}{2} & 1 \\ \frac{1}{2} & 0 & -3 \\ 1 & -3 & 0\end{bmatrix} \xrightarrow[R_3-R_1]{R_2-\frac{1}{2}R_1}\begin{bmatrix}0 & \frac{1}{2} & 1 \\ 0 & -\frac{1}{4} & -\frac{7}{2} \\ 0 & -\frac{7}{2} & -1\end{bmatrix} \xrightarrow[R_3+\frac{7}{2}R_2]{R_2\times(-4)}\begin{bmatrix}0 & \frac{1}{2} & 1 \\ 0 & 1 & \frac{7}{2} \\ 0 & 0 & -\frac{45}{4}\end{bmatrix}$
所以,$f(x)$的标准型为$-\frac{45}{4}x_1^2+x_2^2+\frac{7}{2}x_3^2$。
线性变换的矩阵为:$P=\begin{bmatrix}0 & -2 & -1 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{7}{\sqrt{2}}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix}$。
因此,新的坐标系下,$f(x)$的表达式为$-\frac{45}{4}y_1^2+y_2^2+\frac{7}{2}y_3^2$。
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