2x1^2+5x1*x2+2x2^2+x1+2x2的二次型是凸的吗

根据二次型的定义，如果一个二次型是凸的，那么它的矩阵一定是正定的。而判断一个矩阵是否正定，可以通过其所有特征值的符号来判断。对于这个二次型，可以将其表示为向量x和矩阵A的乘积形式，即x^T * A * x，其中x = [x1, x2]。将系数代入矩阵A中，得到矩阵A为[[2, 5/2], [5/2, 2]]。通过计算矩阵A的特征值，可以得到λ1 = 7/2和λ2 = 3/2，都是正数，因此矩阵A是正定的，所以这个二次型是凸的。

相关问题

已知二次型f=x1^2+x2^2+x3^2+2*a*x1*x2+2*x1*x2+2*x1*x3+2*b*x2*x3经过正交变换化为标准形f=y2^2+2*y3^2，求参数a,b及所用的正交变换矩阵．

首先，对于二次型 $f=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2ax_1x_2+2x_1x_2+2x_1x_3+2bx_2x_3$，可以写成矩阵形式：
$$
\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}
1+a & 1 & 1 \\
1 & 1 & b \\
1 & b & 1
\end{pmatrix}
$$
要将其化为标准形 $f=y_1^2+y_2^2+2y_3^2$，需要进行正交变换。设正交变换矩阵为 $\boldsymbol{P}$，即 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Py}$，则原二次型可表示为 $f=\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}$，带入正交变换后可得：
$$
f=\boldsymbol{y}^T\boldsymbol{P}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}\boldsymbol{y}
$$
为了使其化为标准形，需要求出 $\boldsymbol{P}$ 和 $\boldsymbol{P}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}$。我们分别来求解。

首先，求出 $\boldsymbol{P}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}$。由于正交变换的矩阵是正交矩阵，因此有 $\boldsymbol{P}^T\boldsymbol{P}=\boldsymbol{P}\boldsymbol{P}^T=\boldsymbol{I}$。将 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Py}$ 带入原式，可得：
$$
\begin{aligned}
f &= \boldsymbol{x}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} \\
&= \boldsymbol{y}^T\boldsymbol{P}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}\boldsymbol{y} \\
&= y_1^2 + y_2^2 + (1+a)y_3^2 + (2a+2)y_1y_2 + 2(1+b)y_1y_3 + 2by_2y_3
\end{aligned}
$$
要将其化为标准形 $f=y_1^2+y_2^2+2y_3^2$，需要令 $y_1, y_2, y_3$ 的系数分别为 $1, 1, 2$，即：
$$
\begin{cases}
1+a = 2 \\
2a+2 = 2 \\
2(1+b) = 0 \\
2b = 2
\end{cases}
$$
解得 $a=0, b=1$。

其次，求出正交变换矩阵 $\boldsymbol{P}$。由于 $\boldsymbol{P}$ 是正交矩阵，因此有 $\boldsymbol{P}^T\boldsymbol{P}=\boldsymbol{P}\boldsymbol{P}^T=\boldsymbol{I}$。根据上文的计算结果，可得：
$$
\boldsymbol{P}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}=\begin{pmatrix}
2 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$
可以通过将 $\boldsymbol{A}$ 相似对角化来求解 $\boldsymbol{P}$。具体地，设 $\boldsymbol{P}$ 的列向量为 $\boldsymbol{p}_1, \boldsymbol{p}_2, \boldsymbol{p}_3$，则有：
$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{P}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{P} &= \boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P} \\
&= \begin{pmatrix}
\boldsymbol{p}_1^T \\
\boldsymbol{p}_2^T \\
\boldsymbol{p}_3^T
\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix}
1 & a+1 & b+1 \\
a+1 & 1 & b \\
b+1 & b & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{p}_1 & \boldsymbol{p}_2 & \boldsymbol{p}_3
\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$
由于 $\boldsymbol{P}$ 是正交矩阵，因此有 $\boldsymbol{P}^{-1}=\boldsymbol{P}^T$，代入上式可得：
$$
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{p}_1^T \\
\boldsymbol{p}_2^T \\
\boldsymbol{p}_3^T
\end{pmatrix}^T
\begin{pmatrix}
1 & a+1 & b+1 \\
a+1 & 1 & b \\
b+1 & b & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{p}_1 & \boldsymbol{p}_2 & \boldsymbol{p}_3
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
2 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$
解方程组可得：
$$
\begin{cases}
\boldsymbol{p}_1^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{p}_1 = 2 \\
\boldsymbol{p}_2^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{p}_2 = 2 \\
\boldsymbol{p}_3^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{p}_3 = 1 \\
\boldsymbol{p}_1^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{p}_2 = 0 \\
\boldsymbol{p}_1^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{p}_3 = 0 \\
\boldsymbol{p}_2^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{p}_3 = 0 \\
\boldsymbol{p}_1^T\boldsymbol{p}_1 = 1 \\
\boldsymbol{p}_2^T\boldsymbol{p}_2 = 1 \\
\boldsymbol{p}_3^T\boldsymbol{p}_3 = 1 \\
\boldsymbol{p}_1^T\boldsymbol{p}_2 = 0 \\
\boldsymbol{p}_1^T\boldsymbol{p}_3 = 0 \\
\boldsymbol{p}_2^T\boldsymbol{p}_3 = 0
\end{cases}
$$
由于 $\boldsymbol{A}$ 是对称矩阵，因此可以直接使用 Cholesky 分解求解上述方程组。具体来说，将 $\boldsymbol{A}$ 进行 Cholesky 分解，得到下三角矩阵 $\boldsymbol{L}$，使得 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{LL}^T$，然后令 $\boldsymbol{P}=\boldsymbol{L}^{-1}$ 即可。这里不再赘述求解过程，给出结果：
$$
\boldsymbol{P}=\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$

综上所述，参数 $a=0, b=1$，正交变换矩阵 $\boldsymbol{P}$ 为：
$$
\boldsymbol{P}=\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$

2x1^2+5x1*x2+2x2^2+x1+2x2正交变换的二次型是正定的吗

首先，我们需要将给定的二次型进行标准化处理，即将二次型表示为 $x^T A x$ 的形式。对于 $2x_1^2+5x_1x_2+2x_2^2+x_1+2x_2$，我们可以将其表示为向量和矩阵的乘积的形式：
$$
\begin{pmatrix}
x_1 & x_2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2 & \frac{5}{2} \\
\frac{5}{2} & 2
\end{pmatrix}
begin{pmatrix}
x_1 \\ x_2
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
1 & 2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 \\ x_2
\end{pmatrix}
$$
因此，我们可以得到 $2x_1^2+5x_1x_2+2x_2^2+x_1+2x_2$ 对应的矩阵为：
$$
A = \begin{pmatrix}
2 & \frac{5}{2} \\
\frac{5}{2} & 2
\end{pmatrix}
$$
接下来，我们需要判断矩阵 $A$ 是否正定。由于 $A$ 是一个对称矩阵，因此我们可以使用特征值来判断其正定性。计算矩阵 $A$ 的特征值，得到：
$$
\lambda_1 = \frac{9}{2}, \lambda_2 = \frac{3}{2}
$$
由于 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 均为正数，因此矩阵 $A$ 是正定的，即原二次型 $2x_1^2+5x_1x_2+2x_2^2+x_1+2x_2$ 是正定的。