10344 矩阵连乘积的加括号方式数
时间: 2023-04-29 20:02:43 浏览: 99
矩阵连乘积的加括号方式数是指将多个矩阵相乘时,不同的加括号方式的数量。这个问题可以使用动态规划来解决,具体方法是定义一个二维数组dp,其中dp[i][j]表示从第i个矩阵到第j个矩阵的加括号方式数。然后,我们可以通过枚举第一个加括号的位置,将问题分解为两个子问题,即dp[i][k]和dp[k+1][j],其中k是第一个加括号的位置。最后,我们可以通过累加所有可能的加括号方式数来得到dp[i][j]的值。最终的答案是dp[1][n],其中n是矩阵的数量。
相关问题
设计一个动态规划算法确定计算矩阵连乘积的计算次序,使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。程序运行结束时,将矩阵连乘的加括号方式以及所计算的乘法次数输出。
好的,这是一个经典的动态规划问题,被称为矩阵链乘积问题。我会给你详细解释一下算法步骤。
假设我们有 $n$ 个矩阵 $A_1, A_2, ..., A_n$,它们相乘的顺序可以任意调整,但是计算它们的乘积需要进行的数乘次数是一定的。我们的目标是找到一种计算次序,使得所需的总数乘次数最少。
设 $m[i][j]$ 表示计算矩阵 $A_i$ 到 $A_j$ 的乘积所需的最少数乘次数,$s[i][j]$ 表示计算矩阵 $A_i$ 到 $A_j$ 的乘积时,最后一个进行乘法运算的矩阵的下标。
动态规划的思路是,从小规模问题开始,逐步扩大规模,直到解决整个问题。具体的算法步骤如下:
1. 初始化 $m[i][i]=0$,表示单个矩阵的乘积不需要进行数乘操作。
2. 对于每个子问题 $A_i$ 到 $A_j$,$m[i][j]$ 的值可以通过以下公式计算:
$$
m[i][j] = \min_{i\leq k<j}\{m[i][k]+m[k+1][j]+p_{i-1}p_kp_j\}
$$
其中 $p_i$ 表示第 $i$ 个矩阵的行数,也是第 $i+1$ 个矩阵的列数。上述公式的意思是,枚举最后一个进行乘法运算的矩阵的下标 $k$,将计算矩阵 $A_i$ 到 $A_j$ 的问题划分为两个子问题 $A_i$ 到 $A_k$ 和 $A_{k+1}$ 到 $A_j$,计算两个子问题的最少数乘次数,再加上将这两个子问题相乘所需的次数 $p_{i-1}p_kp_j$。
3. 计算完成后,可以通过 $s[i][j]$ 数组找到最优的计算次序。具体来说,如果 $s[i][j]=k$,则表示计算矩阵 $A_i$ 到 $A_j$ 的乘积时,最后一次乘法运算是在 $A_k$ 和 $A_{k+1}$ 之间进行的。因此,可以将问题划分为两个子问题 $A_i$ 到 $A_k$ 和 $A_{k+1}$ 到 $A_j$,分别对这两个子问题进行相乘。
4. 最终,可以通过递归的方式将问题解决。具体来说,可以按照 $s[i][j]$ 的值将问题划分为两个子问题,分别对这两个子问题进行递归求解。
5. 输出加括号方式以及所计算的乘法次数。可以按照 $s[i][j]$ 的值将问题划分为两个子问题,分别对这两个子问题进行输出,直到输出单个矩阵为止。
希望这个算法步骤对你有所帮助!
动态规划-矩阵连乘积的乘法规则
动态规划-矩阵连乘积的乘法规则是通过最优的括号化方式来计算矩阵的连乘积。具体来说,可以使用一个二维表m来记录从第i个矩阵乘到第j个矩阵的最小次数,同时使用一个二维表s来记录在最优括号化时断开的位置。然后,通过递归的方法,将问题分解为左半部分和右半部分,直到只剩下两个矩阵或一个矩阵。最后,根据表s的记录,可以得到最优的括号化方式。
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