傅里叶分部积分求解非线性薛定谔方程

傅里叶分部积分是求解非线性薛定谔方程的一种常用方法。它的基本思想是将波函数用一系列正交基展开，然后对每个基函数求解一个简单的微分方程，最后再将这些解组合起来得到原方程的解。

具体来说，我们可以将波函数 $\psi(\mathbf{r},t)$ 展开为一系列正交函数 $u_n(\mathbf{r})$ 的线性组合：

$$
\psi(\mathbf{r},t) = \sum_{n} c_n(t) u_n(\mathbf{r})
$$

其中，$c_n(t)$ 是时间的函数，表示波函数在 $u_n(\mathbf{r})$ 方向上的投影。这个展开式可以看作是一个傅里叶级数展开，只不过这里的基函数是空间中的正交函数。

将上式代入非线性薛定谔方程，可以得到：

$$
i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \sum_{n} c_n(t) u_n(\mathbf{r}) = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \sum_{n} c_n(t) u_n(\mathbf{r}) + V(\mathbf{r}) \sum_{n} c_n(t) u_n(\mathbf{r}) + g \left| \sum_{n} c_n(t) u_n(\mathbf{r}) \right|^2 \sum_{n} c_n(t) u_n(\mathbf{r})
$$

我们可以对上式左右两边分别乘以 $u_m^*(\mathbf{r})$，然后对空间变量 $\mathbf{r}$ 进行积分，得到：

$$
i\hbar \frac{dc_m}{dt} = \sum_{n} H_{m,n} c_n + g \sum_{k,l,p} c_k^* c_l c_p \int u_m^*(\mathbf{r}) u_k^*(\mathbf{r}) u_l(\mathbf{r}) u_p(\mathbf{r}) d\mathbf{r}
$$

其中，$H_{m,n}$ 是一个矩阵，表示基函数 $u_m$ 和 $u_n$ 之间的耦合。第二项是一个积分，表示非线性项的贡献。这个积分可以通过傅里叶分部积分的技巧转化为一个矩阵元，即：

$$
\int u_m^*(\mathbf{r}) u_k^*(\mathbf{r}) u_l(\mathbf{r}) u_p(\mathbf{r}) d\mathbf{r} = \int \frac{d\mathbf{k}}{(2\pi)^3} \frac{\hbar^2}{2m} \frac{k^2}{\hbar^2} \tilde{u}_m^*(\mathbf{k}) \tilde{u}_k^*(\mathbf{k}) \tilde{u}_l(\mathbf{k}) \tilde{u}_p(\mathbf{k})
$$

其中，$\tilde{u}_n(\mathbf{k})$ 表示基函数 $u_n(\mathbf{r})$ 的傅里叶变换。这个积分可以通过数值方法或解析方法求解。

最终，我们得到了一组简单的微分方程，其中每个方程只涉及一个基函数和它的耦合项。这些微分方程可以通过数值方法求解，得到波函数的时间演化。