如何求二元函数的极小值

要求二元函数的极小值，可以先求出函数的偏导数，然后令其等于0，解出极值所对应的自变量值。具体的步骤如下：

1. 对于二元函数 $f(x,y)$，分别对 $x$ 和 $y$ 求偏导数，得到 $f_x(x,y)$ 和 $f_y(x,y)$。

2. 将 $f_x(x,y)$ 和 $f_y(x,y)$ 分别令为0，解出 $x$ 和 $y$ 的值，得到一个或多个临界点。

3. 通过二阶偏导数的符号判断临界点的类型：

(1) 当 $f_{xx}(x,y)f_{yy}(x,y)-[f_{xy}(x,y)]^2>0$ 且 $f_{xx}(x,y)<0$，则该临界点为极大值点；

(2) 当 $f_{xx}(x,y)f_{yy}(x,y)-[f_{xy}(x,y)]^2>0$ 且 $f_{xx}(x,y)>0$，则该临界点为极小值点；

(3) 当 $f_{xx}(x,y)f_{yy}(x,y)-[f_{xy}(x,y)]^2<0$，则该临界点为鞍点。

4. 将极小值点对应的自变量值代入原函数 $f(x,y)$ 中，得到极小值。

需要注意的是，如果函数在两个临界点之间取得了最小值，那么还需要判断函数在这些点之间的取值情况，找出最小值。

相关问题

用matlab写一个坐标轮换法求二元函数极小值的程序

以下是一个用Matlab实现坐标轮换法求二元函数极小值的程序示例：

% 定义要求解的函数 f(x,y)
f = @(x,y) (x-2)^2 + (y-1)^2 - x*y;

% 初始化变量和参数
x = [0,0]; % 初始点
delta = 0.1; % 步长
tolerance = 1e-6; % 容忍度
n = 100; % 最大迭代次数

% 迭代
for i = 1:n
    % 计算梯度
    grad = [2*(x(1)-2)-x(2), 2*(x(2)-1)-x(1)];

    % 计算新的坐标
    x_new = x - delta * grad;

    % 检查是否满足容忍度
    if norm(x_new - x) < tolerance
        break;
    end

    % 更新坐标
    x = x_new;

    % 调整步长
    delta = delta / 2;
end

% 输出结果
fprintf('迭代次数: %d\n', i);
fprintf('最小值: %f\n', f(x(1), x(2)));
fprintf('最小点: (%f, %f)\n', x(1), x(2));

在这个程序中，我们首先定义了要求解的二元函数f(x,y)。然后我们初始化变量和参数，包括初始点、步长、容忍度和最大迭代次数。接下来进行迭代，每次迭代中我们计算梯度、更新坐标和调整步长。如果新旧坐标之间的差异小于容忍度，我们就停止迭代。最后输出结果，包括迭代次数、最小值和最小点。

二元函数极小值python

要找到二元函数的极小值，可以使用Python中的优化函数。一个常用的优化函数是SciPy库中的`minimize`函数。下面是一个使用`minimize`函数求解二元函数极小值的示例代码：

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize

# 定义二元函数
def f(x):
    return x[0]**2 + x[1]**2 + 2*x[0] + 3*x[1] + 4

# 初始猜测点
x0 = np.array([0, 0])

# 最小化目标函数
res = minimize(f, x0)

# 打印结果
print(res)
print("最小值：", res.fun)
print("极小值点：", res.x)

在上面的示例中，我们定义了一个二元函数 `f(x)`，并将其传递给 `minimize` 函数进行最小化。初始猜测点 `x0` 为 `[0, 0]`。最终的结果存储在 `res` 变量中，包括最小值和极小值点。

请注意，这只是一个简单的示例，你可以根据自己的需求定义不同的二元函数，并调整初始猜测点以及其他参数。