为什么4divides n^2 imply 4 divides n是错的

这个结论是错误的。如果 $4$ 整除 $n^2$，那么 $n^2$ 一定是偶数，因为 $4$ 是偶数。同时，偶数的平方也一定是偶数。因此，$n^2$ 可以表示为 $2k$，其中 $k$ 为整数。进一步可以得出 $n^2$ 是 $4$ 的倍数，即 $n^2 = 4m$，其中 $m$ 为整数。因此 $n^2$ 是偶数且是 $4$ 的倍数，那么 $n$ 也一定是偶数且是 $4$ 的倍数。因此，结论 $4$ 整除 $n^2$ 蕴含 $4$ 整除 $n$ 是正确的。

相关问题

Write a function that takes an integer n that is greater than 1 and returns the largest integer that is smaller than n and evenly divides n.

编写一个函数，接收一个大于1的整数n，该函数的目标是找到能被n整除的最大整数因子。这个因子应该小于n本身。这通常用于求解最大公约数（Greatest Common Divisor, GCD），尤其是当需要找到两个数的最大公约数时，可以取较小的那个数作为输入。

在Python中，可以使用math库中的gcd函数来直接计算最大公约数，但如果我们要手动实现这个功能，可以使用欧几里得算法（Euclidean Algorithm）：

def largest_divisor(n):
    if n <= 1:
        raise ValueError("Input must be greater than 1")
    divisor = 1
    for i in range(2, int(n**0.5) + 1):  # 遍历到根号n即可，因为较大因子必定有个对应的小于根号n
        if n % i == 0:
            divisor = i  # 更新当前找到的最大因子
            break
    return divisor

如果你需要创建一个自定义版本来理解其工作原理，上述代码就是基础。它通过循环遍历n的所有可能因数，并在找到第一个因子时停止，返回那个因子。

. Prove the following: Let a, b, c, n E Z, where n 2 2. If ac = bc (mod n) and gcd(c, n) = 1,then a = b (mod n)

To prove that a = b (mod n), we need to show that n divides (a - b).

Since ac = bc (mod n), we have n divides (ac - bc) = c(a - b).

Since gcd(c, n) = 1, we know that n and c are coprime, which means that n does not divide c.

Therefore, n must divide (a - b), which means that a = b (mod n).

Hence, the statement is proved.