双线性变换法设计IIR数字滤波器原理

双线性变换法是一种基于模拟滤波器设计原理的数字滤波器设计方法。其基本原理是将模拟滤波器的传递函数通过双线性变换映射到数字滤波器的传递函数上，从而实现数字滤波器的设计。

具体来说，双线性变换将模拟滤波器的传递函数H(s)变换为数字滤波器的传递函数H(z)，其中H(s)表示模拟滤波器的传递函数，H(z)表示数字滤波器的传递函数。变换公式为：

H(z) = H(s)|s=(2/T)*((1-z^-1)/(1+z^-1))

其中，T为采样周期。

双线性变换的本质是将s平面映射到z平面上，从而将模拟滤波器的传递函数转换为数字滤波器的传递函数。这个过程中，模拟滤波器的无穷远点（s=∞）被映射到z平面的z=-1处，因此，数字滤波器的通带截止频率和阻带截止频率一般是不等于模拟滤波器的截止频率的。

双线性变换法设计IIR数字滤波器的基本思路是：首先根据所需的滤波器类型和规格参数，计算模拟滤波器的传递函数H(s)，然后通过双线性变换将H(s)变换为数字滤波器的传递函数H(z)，最后将H(z)分解为二阶段IIR数字滤波器，计算滤波器的系数，实现为直接I型或者直接II型结构。这样就可以实现IIR数字滤波器的设计。

总之，双线性变换法设计IIR数字滤波器的原理是将模拟滤波器的传递函数通过双线性变换映射到数字滤波器的传递函数上，实现数字滤波器的设计。

相关问题

双线性变换法设计IIR数字滤波器步骤

设计IIR数字滤波器的双线性变换法步骤如下：

1. 根据所需的滤波器类型和规格参数，计算模拟滤波器的传递函数H(s)。

2. 对传递函数H(s)进行双线性变换，得到数字滤波器的传递函数H(z)。双线性变换公式为：

H(z) = H(s)|s=(2/T)*((1-z^-1)/(1+z^-1))

其中，T为采样周期。

3. 将H(z)分解为二阶段的IIR数字滤波器，每个二阶段IIR数字滤波器的传递函数为：

H(z) = (b0 + b1*z^-1 + b2*z^-2)/(1 + a1*z^-1 + a2*z^-2)

4. 根据分解后的二阶段IIR数字滤波器的传递函数，计算滤波器的系数b0、b1、b2、a1和a2。

5. 将每个二阶段IIR数字滤波器实现为直接I型或者直接II型结构。

6. 对于需要级联的IIR数字滤波器，将每个二阶段IIR数字滤波器级联起来。

7. 对于需要并联的IIR数字滤波器，将每个二阶段IIR数字滤波器并联起来。

8. 对于需要加权和的IIR数字滤波器，将每个二阶段IIR数字滤波器的输出加权求和。

这些是设计IIR数字滤波器的双线性变换法的基本步骤。

双线性变换法设计iir数字滤波器的代码

以下是使用双线性变换法设计IIR数字滤波器的C++代码示例：

#include <iostream>
#include <cmath>

using namespace std;

const double pi = 3.14159265358979323846;

// 双线性变换函数
void bilinear_transform(double b[], double a[], double num[], double den[], double fs, double fc, int order) {
    double wc = 2 * pi * fc / fs;
    double wcp = tan(wc / 2);
    double a1 = 2 * fs - 2 * wcp;
    double a2 = 2 * fs + 2 * wcp;
    double b0 = 0, b1 = 0, b2 = 0, a0 = 0, a1z = 0, a2z = 0;

    if (order == 1) {
        b0 = b[0] / a[0];
        b1 = b[1] / a[0];
        a0 = 1;
        a1z = a1 / a[0];
        a2z = a2 / a[0];
    } else if (order == 2) {
        b0 = b[0] / a[0];
        b1 = b[1] / a[0];
        b2 = b[2] / a[0];
        a0 = 1;
        a1z = (a1 + sqrt(a1 * a1 - 4 * a2)) / 2 / a[0];
        a2z = (a1 - sqrt(a1 * a1 - 4 * a2)) / 2 / a[0];
    }

    num[0] = b0;
    num[1] = b1 * a1z;
    num[2] = b2 * a2z;
    den[0] = a0;
    den[1] = -a1z;
    den[2] = -a2z;
}

int main() {
    double fs = 44100;  // 采样率
    double fc = 1000;   // 截止频率
    int order = 2;      // 滤波器阶数
    double b[] = {1, 0, 0};  // 分子系数
    double a[] = {1, 0.1, 1};  // 分母系数
    double num[3], den[3];  // 双线性变换后的系数

    bilinear_transform(b, a, num, den, fs, fc, order);

    cout << "双线性变换后的系数：" << endl;
    cout << "b[0] = " << num[0] << endl;
    cout << "b[1] = " << num[1] << endl;
    cout << "b[2] = " << num[2] << endl;
    cout << "a[0] = " << den[0] << endl;
    cout << "a[1] = " << den[1] << endl;
    cout << "a[2] = " << den[2] << endl;

    return 0;
}

在这个例子中，我们使用了双线性变换来将模拟滤波器的系数转换为数字滤波器的系数。`fs` 和 `fc` 分别表示采样率和截止频率，`order` 表示滤波器的阶数，`b` 和 `a` 数组分别表示模拟滤波器的分子系数和分母系数。`num` 和 `den` 数组则表示双线性变换后的数字滤波器的分子系数和分母系数。

在函数 `bilinear_transform` 中，我们首先计算了截止频率的模拟角频率 `wc` 和双线性变换的参数 `wcp`，然后根据公式计算了双线性变换的系数。最后，将计算得到的系数存储到 `num` 和 `den` 数组中，并输出结果。

需要注意的是，在实际应用中，我们需要根据具体的滤波器类型和设计要求选择合适的阶数、截止频率和系数。同时，由于双线性变换会引入数字滤波器的频率响应失真和幅度响应非线性等问题，因此需要进行进一步的优化和校准。