哈希表的平均查找长度

### 哈希表平均查找长度概念

哈希表是一种通过哈希函数将键映射到固定范围内的数组索引的数据结构。当多个键被映射到同一个索引时会发生冲突，解决这些冲突的方法有很多种，比如线性探测再散列法、二次探测法等。

对于哈希表而言，平均查找长度（Average Search Length, ASL）分为两种情况：

- **查找成功**：指在哈希表中找到给定的关键字所需的比较次数的期望值。
- **查找失败**：指确定某个关键字不在哈希表内所需的最大比较次数的期望值。

这两种情况下ASL的具体定义如下[^1]：

#### 查找成功的平均查找长度 (ASLs)

\[ \text{ASL}_{\text{s}}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(\text{第 } i \text{ 个元素的实际查找长度}\right)}{n} \]

其中 \( n \) 是哈希表中存在的有效记录数量。

#### 查找失败的平均查找长度 (ASLf)

\[ \text{ASL}_{\text{f}}=\frac{\sum_{j=0}^{m-n-1}\left(\text{未命中位置 } j \text{ 的实际查找长度}\right)}{m-n} \]

这里 \( m \) 表示哈希表总容量；\( n \) 同样表示已有记录数目；分母部分代表所有可能为空的位置总数。

### 实际案例分析

考虑给出的例子，使用线性探测再散列法处理冲突来构建哈希表，并假设哈希表大小为15 (\(m=15\))，则可以按照上述公式计算不同情形下的ASL。

具体来说，在这个例子中有两个重要参数需要关注:

- 关键字集合 {19, 14, 23, 1, 68, 20, 84, 27, 55, 11, 10, 79}
- 哈希函数 H(key)=key MOD 13

为了简化说明过程，下面仅展示如何计算查找失败的情况。

由于模运算的结果是从0到12之间的整数值，因此即使哈希表长度设定为15，实际上只有13个不同的槽位可供分配。这意味着存在两处空闲空间用于存储新加入但发生碰撞后的项。

现在尝试向不存在于当前列表中的随机数执行查找操作，直到遇到第一个可用插槽为止所经历的距离即为此类查询的成本。重复此过程覆盖整个剩余区间并累加得到最终结果。

例如，如果要测试数字`X`是否存在于该哈希表中，则会依次检查 `H(X)` 及其后续相邻单元格直至发现匹配项或空白区域。此时统计路径上经过了多少步即可得知单次失败查找对应的代价。

最后汇总所有潜在缺失条目的探查距离并将它们相加以获得总的失败成本，除以理论上的最大可选位置数得出平均值作为查找失败时的ASL。

def calculate_asl_fails(keys, table_size, hash_func):
    occupied_slots = set()
    
    # Fill the slots with given keys using linear probing.
    for key in keys:
        index = hash_func(key)
        while True:
            if index not in occupied_slots or len(occupied_slots) >= table_size:
                break
            index = (index + 1) % table_size
        
        occupied_slots.add(index)
        
    fail_distances_sum = 0
    
    # Calculate distances to first empty slot from each unoccupied position.
    for pos in range(table_size):
        distance = 0
        current_pos = pos
        while current_pos in occupied_slots and distance < table_size:
            distance += 1
            current_pos = (current_pos + 1) % table_size
            
        if distance != table_size:  # Avoid counting full circle as a failure path.
            fail_distances_sum += distance
            
    num_unfilled_positions = table_size - len(occupied_slots)
   asl_failures = fail_distances_sum / max(num_unfilled_positions, 1)
    
    return asl_failures


keys_example = [19, 14, 23, 1, 68, 20, 84, 27, 55, 11, 10, 79]
table_length = 15
hash_function = lambda k : k % 13

print(f"Failure Average Search Length is approximately {calculate_asl_fails(keys_example, table_length, hash_function):.2f}")