求1*2*3*...*n结尾有多少个零
时间: 2024-04-23 07:19:39 浏览: 7
当我们计算1*2*3*...*n的阶乘时,结尾的零的个数取决于其中因子中2和5的个数。因为每个偶数都可以分解为2的倍数,而每个5的倍数都可以分解为5的倍数。由于2的倍数出现的频率比5的倍数高,所以我们只需要计算5的倍数的个数即可。
首先,我们可以观察到每隔5个数就会出现一个5的倍数,每隔25个数又会出现一个25的倍数,每隔125个数又会出现一个125的倍数,以此类推。所以我们可以得到以下公式:
n/5 + n/25 + n/125 + ...
其中,n/5表示小于等于n的数中能被5整除的个数,n/25表示小于等于n的数中能被25整除的个数,以此类推。
现在我们来回答你的问题:求1*2*3*...*n结尾有多少个零。
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求1*2*3*...*n结尾有多少个零的代码
求1*2*3*...*n结尾有多少个零的问题可以通过计算n的阶乘中因子5的个数来解决。因为每个因子5都会贡献一个零,所以我们只需要计算n的阶乘中有多少个因子5即可。
以下是一个示例的Python代码实现:
```python
def count_zeros(n):
count = 0
while n >= 5:
n //= 5
count += n
return count
# 示例调用
n = 10
zeros = count_zeros(n)
print(f"求1*2*3*...*{n}结尾有{zeros}个零")
```
给出一个长度为 n的序列a,求满足如下条件连续字段的数量.令x = al * al+1 * al+2 * ... * ar.那么x的末尾恰好有k个零。再优化一下复杂度, C++代码
我们可以先将序列中的每个数分解质因数,然后对于每个区间,我们可以使用双指针来找到最短的区间使得区间内的元素的乘积末尾有 $k$ 个 $0$。
具体来说,我们可以使用一个变量 $cnt$ 记录当前区间内 $2$ 的个数,另一个变量 $cnt5$ 记录当前区间内 $5$ 的个数。然后我们移动右指针 $r$,在移动的过程中不断更新 $cnt$ 和 $cnt5$,直到 $cnt$ 和 $cnt5$ 均大于等于 $k$。此时我们可以求出当前区间的长度 $len$,那么以 $r$ 结尾的满足条件的连续子区间数量就是 $len$。
接着我们移动左指针 $l$,在移动的过程中不断更新 $cnt$ 和 $cnt5$,如果 $cnt$ 和 $cnt5$ 中有任意一个小于 $k$,我们就继续移动左指针。直到 $cnt$ 和 $cnt5$ 均大于等于 $k$,此时以 $l$ 开头的最短满足条件的区间已经找到了,以 $l$ 开头的满足条件的连续子区间数量就是 $len$。接着我们把左指针向右移动一位,再次进入右指针移动的循环。
时间复杂度为 $O(n\log w)$,其中 $w$ 是序列中的最大值。以下是 C++ 代码实现:
```c++
#include <cstdio>
#include <vector>
using namespace std;
const int MAXN = 1e5;
int n, k;
int a[MAXN + 5];
vector<pair<int, int>> factors[MAXN + 5];
int main() {
scanf("%d%d", &n, &k);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%d", &a[i]);
int x = a[i];
for (int j = 2; j * j <= x; j++) {
if (x % j == 0) {
int cnt = 0;
while (x % j == 0) {
cnt++;
x /= j;
}
factors[i].emplace_back(j, cnt);
}
}
if (x > 1) {
factors[i].emplace_back(x, 1);
}
}
int l = 1, r = 0;
int cnt2 = 0, cnt5 = 0;
long long ans = 0;
while (r < n) {
r++;
for (auto [p, c] : factors[r]) {
if (p == 2) {
cnt2 += c;
} else if (p == 5) {
cnt5 += c;
}
}
while (cnt2 >= k && cnt5 >= k) {
int len = r - l + 1;
ans += n - r + 1;
for (auto [p, c] : factors[l]) {
if (p == 2) {
cnt2 -= c;
} else if (p == 5) {
cnt5 -= c;
}
}
l++;
}
}
printf("%lld\n", ans);
return 0;
}
```