V_i=V*{1-exp[-ϵ(t)/ϵ_0]^m,对其求导，随后对求导结果在0-t积分（给出通过MATLAB积分后的结果仅进行公示推导不需要给出精确解），ϵ(t)=（rho_w/rho_I-1）×theta_S×（S_0-at^2+bt=c）其中除t以外均为常数

\( V_i \) 的表达式是一个复合函数，包含指数函数和线性项。对 \( V_i \) 求导涉及到链式法则，首先对内层函数求导再乘以外部函数的导数。假设 \( V \), \( ϵ_0 \), 和 \( m \) 都是常数，\( ρ_w \), \( ρ_I \), \( θ_S \), \( S_0 \), \( a \), \( b \), 和 \( c \) 也是常数，\( t \) 是变量：

\[
V_i = V \times (1 - e^{-\frac{\epsilon(t)}{\epsilon_0}})^m
\]

对于 \( \epsilon(t) \)，它是一个关于时间 \( t \) 的二次函数：

\[
\epsilon(t) = (\frac{\rho_w}{\rho_I} - 1) \times \theta_S \times (S_0 - at^2 + bt - c)
\]

求 \( V_i \) 关于 \( t \) 的导数 \( \frac{dV_i}{dt} \)：

\[
\frac{dV_i}{dt} = V \times m \times (1 - e^{-\frac{\epsilon(t)}{\epsilon_0}})^{m-1} \cdot \left(-\frac{d}{dt}\left(\frac{\epsilon(t)}{\epsilon_0}\right)\right)
\]

现在我们需要计算 \( \epsilon'(t) \)（\( \epsilon \) 关于 \( t \) 的导数）：

\[
\epsilon'(t) = \frac{d}{dt}\left[(\frac{\rho_w}{\rho_I} - 1) \times \theta_S \times (-2at + b)\right]
\]

将 \( \epsilon'(t) \) 代入上面的 \( \frac{dV_i}{dt} \) 中。

接下来，在 MATLAB 中使用 `int` 函数进行积分，但由于这个过程需要具体的数值输入才能得到精确的结果，而且这超出了文字描述范围，所以我不能直接给出积分后的公式。但是，你可以按照下面步骤在 MATLAB 中编写代码：

% 假设所有常数已赋值
V = ...;
eps0 = ...;
m = ...;
rho_w = ...;
rho_I = ...;
theta_S = ...;
S0 = ...;
a = ...;
b = ...;
c = ...;

% 计算 dV_i/dt
function dVi_dt = derivative_Vi(t)
    epsilon_t = ...; % 将 S_0-at^2+bt-c 替换为实际表达式
    der_epsilon_t = ...; % 计算 epsilon_t 对 t 的导数
    dVi_dt = V * m * (1 - exp(-epsilon_t/eps0)).^(m-1) .* der_epsilon_t;
end

% 积分 dV_i
integral_result = integral(derivative_Vi, 0, t);