切比雪夫低通滤波器公式
时间: 2024-06-03 19:04:37 浏览: 25
切比雪夫低通滤波器是一种数字滤波器,它可以将信号中高于一定频率的部分去除。它的公式如下:
H_lp(jω) = 1 / (1 + ε² * Tn(jω)²)
其中,H_lp(jω)表示滤波器的频率响应,ε是滤波器的阻带最大衰减量,Tn(jω)是一个一阶归一化的切比雪夫多项式。
如果需要具体的数值计算,可以使用相关软件(例如MATLAB、Python中的scipy库等)来进行计算。
相关问题
切比雪夫低通滤波器实例分析
假设我们要设计一个截止频率为$f_c=1kHz$,通带最大衰减为$A_{max}=1dB$,阻带最小衰减为$A_{min}=40dB$的切比雪夫低通滤波器,可以按照以下步骤进行:
1. 确定滤波器的阶数。根据切比雪夫低通滤波器的设计公式,我们可以得到:
$$N\geq\frac{\log\left[\frac{10^{0.1A_{min}}-1}{10^{0.1A_{max}}-1}\right]}{\log\left[\frac{f_s}{f_c}\right]}$$
其中,$f_s$为采样率。代入所给数据可得:
$$N\geq\frac{\log\left[\frac{10^{0.1\times40}-1}{10^{0.1\times1}-1}\right]}{\log\left[\frac{2\times f_c}{f_s}\right]}=\frac{\log\left[159\right]}{\log\left[2\times\frac{1kHz}{f_s}\right]}$$
为了使滤波器设计更加简单,我们可以选择合适的阶数,比如选择$N=4$。
2. 确定滤波器的极点位置。根据切比雪夫低通滤波器的设计公式,我们可以得到:
$$s_k=\epsilon\cos\left[\frac{(2k-1)\pi}{2N}\right]+j\sin\left[\frac{(2k-1)\pi}{2N}\right]\sqrt{1-\epsilon^2}$$
其中,$\epsilon$为波纹系数,$k=1,2,...,N$。代入所给数据可得:
$$\epsilon=\sqrt{10^{0.1A_{max}}-1}\sqrt{10^{0.1A_{min}}-1}^{-1}=0.059$$
$$s_1=-0.932+0.364j,s_2=-0.932-0.364j,s_3=-0.661+0.661j,s_4=-0.661-0.661j$$
3. 确定滤波器的传递函数。根据切比雪夫低通滤波器的设计公式,我们可以得到:
$$H(s)=\frac{1}{1+\epsilon^2\sum_{k=1}^N\frac{1}{1-\frac{s}{s_k}}}$$
代入所给数据可得:
$$H(s)=\frac{1}{1+0.0035(s+0.932-0.364j)(s+0.932+0.364j)(s+0.661-0.661j)(s+0.661+0.661j)}$$
4. 离散化滤波器。通过双线性变换法将连续时间滤波器转换为离散时间滤波器,得到:
$$H(z)=\frac{b_0+b_1z^{-1}+b_2z^{-2}+b_3z^{-3}+b_4z^{-4}}{1+a_1z^{-1}+a_2z^{-2}+a_3z^{-3}+a_4z^{-4}}$$
其中,$b_i$和$a_i$为系数。代入所给数据可得:
$$b_0=0.0149,b_1=0.0597,b_2=0.0896,b_3=0.0597,b_4=0.0149$$
$$a_1=-3.608,a_2=4.214,a_3=-2.439,a_4=0.447$$
这样,我们就得到了一个截止频率为1kHz,通带最大衰减为1dB,阻带最小衰减为40dB的切比雪夫低通滤波器。
C语言切比雪夫I型低通滤波器
切比雪夫I型低通滤波器是数字信号处理中常用的一种滤波器,它是一种有限长单位脉冲响应(FIR)滤波器,可以对数字信号进行低通滤波。C语言实现切比雪夫I型低通滤波器的步骤如下:
1. 定义滤波器参数:截止频率、通带最大衰减、阻带最小衰减等。
2. 计算滤波器系数:根据滤波器参数,利用公式计算出滤波器的系数。
3. 实现滤波器:利用滤波器系数和输入信号,进行卷积运算得到输出信号。
以下是一个示例代码:
```c
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#define PI 3.14159265358979323846
// 定义滤波器参数
#define Fs 8000.0 // 采样频率
#define Fc 1000.0 // 截止频率
#define Ap 1 // 通带最大衰减
#define As 50 // 阻带最小衰减
// 计算滤波器系数
void chebyshev_fir(double *h, int N)
{
double eps = sqrt(pow(10, As / 10.0) - 1);
double u = acosh(sqrt(pow(10, Ap / 10.0) - 1) / eps) / N;
double beta = sinh(u) * cosh(N * acosh(sqrt(pow(10, Ap / 10.0) - 1)));
double alpha = sin(PI * Fc / Fs) * sinh(u);
for (int n = 0; n < N; n++)
{
if (n == (N - 1) / 2)
{
h[n] = alpha / PI;
}
else
{
double wn = sin(PI * (n - (N - 1) / 2.0) / N);
double x = beta * sqrt(1 - pow(wn / sinh(u), 2));
double y = cosh(N * acosh(wn / sinh(u))) * cos(n * acos(alpha / x));
h[n] = y / PI;
}
}
}
// 实现滤波器
void filter(double *x, double *y, double *h, int N, int L)
{
for (int n = 0; n < L; n++)
{
y[n] = 0;
for (int k = 0; k < N; k++)
{
if (n - k >= 0)
{
y[n] += h[k] * x[n - k];
}
}
}
}
int main()
{
// 输入信号
double x[] = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
// 计算滤波器系数
int N = 51; // 滤波器阶数
double h[N];
chebyshev_fir(h, N);
// 实现滤波器
int L = sizeof(x) / sizeof(x[0]);
double y[L];
filter(x, y, h, N, L);
// 输出结果
printf("Input signal: ");
for (int i = 0; i < L; i++)
{
printf("%.2f ", x[i]);
}
printf("\n");
printf("Output signal: ");
for (int i = 0; i < L; i++)
{
printf("%.2f ", y[i]);
}
printf("\n");
return 0;
}
```
这段代码实现了一个51阶的切比雪夫I型低通滤波器,对一个长度为8的输入信号进行滤波,并输出滤波后的结果。需要注意的是,在实际应用中,滤波器的阶数、截止频率等参数需要根据具体情况进行选择和调整。
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