matlab 贝叶斯线性回归

### 如何在MATLAB中实现贝叶斯线性回归

#### 数据准备
为了在 MATLAB 中实施贝叶斯线性回归，首先要准备好用于训练和测试的数据集。这通常涉及加载数据、清理缺失值以及标准化特征尺度等操作[^1]。

% 加载并查看数据结构
load('data.mat'); % 假设数据存储在一个名为 'data.mat' 的文件里
disp(head(data));

% 清理数据中的任何异常或缺失条目
cleanData = rmmissing(data);

% 特征缩放至均值为0方差为1的标准正态分布
scaledData = zscore(cleanData);

#### 构建模型
接下来定义贝叶斯线性回归模型的具体形式及其超参数设置。此过程可能涉及到指定先验概率密度函数的形式与参数初始化等内容[^3]。

% 定义贝叶斯线性回归对象
bayeslmModel = bayeslm(numPredictors,'Model','conjugate',...
    'Mu',priorMean,...          % 设置权重向量的先验期望值
    'V',diag(priorVar),...      % 设定协方差矩阵作为对角阵
    'A',nu,...                  % 自由度ν (df)
    'B',sigmaSquared);         % σ² 的逆伽玛分布形状参数β

#### 训练模型
一旦完成了上述准备工作，则可以通过调用 `estimate` 函数来拟合给定样本上的贝叶斯线性回归模型，并获得后验估计的结果[^4]。

[PosteriorMdl,estBeta,sigma2Hat,summaryTable] = estimate(bayeslmModel,...
    scaledData(:,predictorIndices),...
    scaledData(:,responseIndex));

#### 性能评估
完成模型训练之后，应当对其预测能力作出评价。常用的方法有交叉验证、计算误差指标（如 MSE）、绘制残差图等形式来进行定量分析和直观展示。

predictedResponses = predict(PosteriorMdl,Xnew);
mseValue = mean((ytest-predictedResponses).^2);
figure;
scatter(ytest,predictedResponses);
xlabel('Observed Values');
ylabel('Fitted Values');
title(['R-squared: ',num2str(correlationCoefficient)]);

#### 结果可视化
最后一步是对所得结论加以图形化呈现以便更好地理解模型行为特性。比如画出各系数对应的置信区间直方图或者响应曲面图等等。

plotSlice(PosteriorMdl);
legend show;
print(gcf,'-dpng','-r300','model_slices.png');

histogram(estBeta);
hold on;
for i=1:size(summaryTable,1)-2
    xline([summaryTable{i+2,7}, summaryTable{i+2,8}], ...
        '--k','LineWidth',1.5);
end
hold off;
xlabel('\beta estimates with 95\% credible intervals');
ylabel('Frequency');
print(gcf,'-dpng','-r300','coefficients_histograms.png');