请解释如何在自动控制系统中应用梅逊公式进行根轨迹分析，并给出实际应用中如何判断系统稳定性的示例。

在自动控制系统的设计和分析中，梅逊公式是确定闭环系统特征方程根位置的重要工具，而根轨迹分析则是评估系统稳定性和性能的关键方法。为了帮助你更好地理解和应用这些概念，我推荐你查看《胡寿松第五版《自动控制原理》PPT：逐章教学与关键概念详解》。这份资源将为你提供直观的教学和实例，与你当前的问题紧密相关。

参考资源链接：[胡寿松第五版《自动控制原理》PPT：逐章教学与关键概念详解](https://wenku.csdn.net/doc/4s852ipjw4?spm=1055.2569.3001.10343)

首先，梅逊公式提供了一种系统的手段来分析开环传递函数如何影响闭环系统的根。公式中的各个项表示了开环极点、零点以及开环增益对系统闭环特征方程根位置的影响。具体来说，梅逊公式表达为：

Δ = 1 + K * G(s) * H(s) = 0

其中，Δ表示闭环特征方程，K为开环增益，G(s)为开环传递函数，H(s)为反馈路径传递函数。

在实际应用中，根轨迹分析通常通过绘制根轨迹图来进行。根据根轨迹图，我们可以直观地判断系统稳定性的变化：

1. 根轨迹图会从开环极点出发，向开环零点延伸。
2. 每条轨迹代表系统开环增益K的一个值。
3. 根轨迹穿越虚轴的点对应的K值，称为临界增益，它表示系统稳定性的边界。
4. 如果所有根轨迹都在左半平面，则系统稳定；如果有根轨迹在右半平面，系统不稳定。

例如，假设有一个开环传递函数 G(s)H(s) = K/(s(s+1)(s+2))，我们可以通过MATLAB的rlocus函数绘制其根轨迹图。如果根轨迹没有穿越虚轴，那么系统是稳定的；如果有穿越，则穿越点对应的K值即为临界增益，系统在临界增益附近可能是临界稳定的，而在临界增益之上则是不稳定的。

通过《胡寿松第五版《自动控制原理》PPT：逐章教学与关键概念详解》中的讲解和实例，你将能够更加深入地理解根轨迹分析的概念，并学会如何应用梅逊公式来判断自动控制系统的稳定性。当你完成这一部分的学习之后，建议继续使用这份资料深入学习控制系统分析的其他高级主题，如系统的性能评估和控制系统设计的优化等。

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