凸二次规划 matlab

### 实现凸二次规划求解

在 MATLAB 中，可以利用 `quadprog` 函数来解决凸二次规划问题。该函数旨在最小化一个给定的二次目标函数，在满足一系列线性约束条件下找到最优解。

#### 使用 quadprog 的基本调用方式

为了使用 `quadprob` 来解决问题，需定义几个主要组成部分：

- Hessian 矩阵 \(H\) 和一次项向量 \(f\) 描述了目标函数的形式 \(\frac{1}{2}x^THx+f^Tx\)[^1]。
- A 和 b 定义了不等式约束 \(Ax \leq b\)[^2]。
- Aeq 和 beq 表达了等式约束 \(A_{eq}x = b_{eq}\)。
- lb 和 ub 设定了决策变量的上下界 \(lb \leq x \leq ub\)。

下面是一个简单的例子展示如何设置并求解一个带有边界和线性约束的二次规划问题。

% 定义二次项系数矩阵 H 和一次项系数 f
H = [1, -1;
     -1, 2];
f = [-2; -6];

% 设置线性不等式约束 Ax <= b
A = [1, 1;
     -1, 2;
     2, 1];
b = [2; 2; 3];

% 如果存在线性等式约束 Aeq*x = beq 则应指定它们
Aeq = [];
beq = [];

% 变量下限 lb 和上限 ub
lb = zeros(2, 1);
ub = [];

% 调用 quadprog 进行求解
[x, fval] = quadprog(H, f, A, b, Aeq, beq, lb, ub);

disp('Solution:');
disp(x);
disp('Objective function value at solution:');
disp(fval);

此代码片段展示了如何构建一个问题实例并通过调用内置的 `quadprog` 函数来进行计算。注意这里假设问题是凸的；如果不是，则可能需要采用其他策略或算法处理非凸情况[^4]。

对于更复杂的情况，比如当涉及到大规模数据集或是特殊结构的问题时，MATLAB 提供了多种优化选项以及不同的求解器可供选择，包括但不限于内点法（interior-point algorithm），这些都可以通过调整 `optimoptions` 参数来自定义求解过程[^3]。