当输入数据有四列时，如何计算SINDy模型的bic，附python代码

在SINDy (Sparse Identification of Nonlinear Dynamics) 模型中，BIC (Bayesian Information Criterion) 通常用于模型选择，它考虑了模型的复杂度和拟合优度。当数据集包含四列（即四个特征变量）时，我们首先需要对数据进行线性化处理并估计系数矩阵，然后基于该矩阵的不同阶数多项式来构建模型序列。最后，对于每个模型，我们会计算其对应的残差平方和RSS (Residual Sum of Squares) 和自由度df，以及样本大小n。BIC公式一般如下：

\[ BIC = \log(n) \cdot df + k \cdot \log(n) \]

其中，
- \( n \) 是样本数量，
- \( df \) 是模型的自由度，等于特征的数量减去1（因为模型常数项会固定一个自由度），
- \( k \) 是模型中的系数数量。

Python中计算SINDy的BIC可以使用以下步骤编写，假设已经有一个pandas DataFrame `data`，列名分别为'time', 'x1', 'x2', 'x3'（x4可能被其他列替换），并且`scikit-learn`库已经被安装：

import numpy as np
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from scipy.sparse import csc_matrix
from sklearn.metrics import mean_squared_error

# 提取时间步长和特征数据
time = data['time'].values
X = data[['x1', 'x2', 'x3']].values  # 假设最后一列不是特征

# 对于每阶多项式，构建并训练模型
max_degree = 5  # 高度最大到五次多项式
bic_values = []
for degree in range(1, max_degree + 1):
    # 线性化处理
    poly_features = PolynomialFeatures(degree=degree).fit_transform(X)
    
    # 创建稀疏索引矩阵
    X_sindy = csc_matrix(poly_features)

    # 训练SINDy模型，这里通常使用Lasso回归
    lasso = Lasso(alpha=0.1)
    model = lasso.fit(X_sindy, time)

    # 计算RSS和df
    y_pred = model.predict(X_sindy)
    rss = mean_squared_error(time, y_pred)
    df = X_sindy.shape[1] - 1  # 因为常数项已被考虑

    # 计算BIC
    bic = np.log(len(time)) * df + degree * np.log(len(time))
    bic_values.append(bic)

# 最后，找到BIC最低的模型作为最优模型
best_degree = bic_values.index(min(bic_values))