linear transformation 证明 im(t ) is a vector subspace of w

设线性变换T：V→W，其中V和W是向量空间。要证明im(T)是W的一个向量子空间，需要证明以下三个条件成立：

1. 非空性：im(T)不为空。由于T是线性变换，必然存在一个向量v在V中，使得T(v)在W中。因此，im(T)中至少存在一个向量，所以im(T)不为空。

2. 封闭性：im(T)对于向量的加法和数量乘法是封闭的。设u和v是V中的两个向量，并且T(u)和T(v)是对应的W中的向量。由于T是线性变换，有T(u+v) = T(u) + T(v)，即线性变换对加法封闭。此外，对于任意的标量k，有T(kv) = kT(v)，即线性变换对数量乘法封闭。因此，im(T)是对于向量的加法和数量乘法是封闭的。

3. 加法逆元：im(T)中的每个向量都有一个加法逆元。设v是V中的一个向量，使得T(v) = w，其中w是W中的一个向量。由于W是一个向量空间，对于w必然存在一个向量−w在W中，即−w = T(−v)。因此，对于im(T)中的每个向量，都存在一个对应的加法逆元。

根据以上三个条件，可以得出结论im(T)是W的一个向量子空间。

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