八皇后问题的时间复杂度和空间复杂度

八皇后问题的时间复杂度和空间复杂度如下：
时间复杂度：方法一中，穷举法需要尝试88 =16,777,216种情况，而check方法需要C28 = 28次比较，因此时间复杂度为O(N^N)。方法二中，回溯法的时间复杂度为O(N!)，其中N为皇后数量，即本题中的N=8。
空间复杂度：方法一中，穷举法的空间复杂度为O(1)，check方法的空间复杂度为O(N)。方法二中，回溯法的空间复杂度为O(N)，其中N为皇后数量，即本题中的N=8。

相关问题

八皇后问题C++递归算法的时间和空间复杂度

八皇后问题是一个经典的回溯算法问题，其目标是在一个8x8的棋盘上放置八个皇后，使得任意两个皇后都不在同一行、同一列，以及斜线上。以下是使用C++递归解决八皇后问题的一个基本思路：

#include <vector>

bool isSafe(int row, int col, std::vector<std::vector<int>>& board) {
    // 检查同行和左上方是否有皇后
    for (int i = 0; i < row; i++) {
        if (board[i] == col || abs(board[i] - col) == row - i)
            return false;
    }
    return true;
}

void solveNQueens(int n, int row, std::vector<std::vector<int>>& board) {
    if (row == n) {
        // 如果摆放完整，则打印结果
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j : board[i])
                cout << j << " ";
            cout << endl;
        }
    } else {
        for (int col = 0; col < n; col++) {
            if (isSafe(row, col, board)) {
                board[row][col] = col;
                solveNQueens(n, row + 1, board);
                // 回溯：如果当前位置不合法，则尝试下一个位置
                board[row][col] = -1;
            }
        }
    }
}

int main() {
    std::vector<std::vector<int>> board(n, std::vector<int>(n, -1));
    solveNQueens(8, 0, board);
    return 0;
}

**时间复杂度**：这个问题的时间复杂度是O(N!)，因为对于每一行，都有N种可能的选择（放置皇后的位置），而总共有N行。所以总共的尝试次数会随着N的增长呈指数增长。

**空间复杂度**：空间复杂度也是O(N)，因为需要存储每个棋盘的状态，即一个大小为N*N的二维数组。尽管递归过程中会有大量的函数调用栈存在，但由于每次递归只增加一行的状态，并且最终会通过回溯将已处理的信息回收，因此整体的空间复杂度是线性的。

八皇后问题的空间复杂度

八皇后问题的空间复杂度也取决于所采用的算法。如果使用暴力枚举法，空间复杂度为O(1)，因为只需要使用常数级别的空间存储当前皇后的位置。如果使用回溯算法，则需要使用O(n)级别的空间存储当前皇后所在的行、列、对角线等信息。如果使用位运算优化的算法，则空间复杂度可以进一步降低到O(1)，因为可以使用一个bit位来表示某个位置是否被占用。因此，八皇后问题的空间复杂度也取决于算法的优化程度。