揭秘IIR滤波器设计常见陷阱：助你避开设计误区

# 1. IIR滤波器基础

IIR（无限脉冲响应）滤波器是一种线性时不变滤波器，其输出不仅取决于当前输入，还取决于过去的输入和输出。与FIR（有限脉冲响应）滤波器不同，IIR滤波器具有反馈回路，使输出信号与输入信号产生递归关系。

IIR滤波器的关键特性包括：

- **稳定性：**IIR滤波器必须是稳定的，这意味着其输出不会随着时间的推移而发散。
- **因果性：**IIR滤波器的输出仅取决于当前和过去的输入，而不是未来的输入。
- **递归性：**IIR滤波器的输出信号与输入信号和过去的输出信号相关联。

# 2. IIR滤波器设计理论**

**2.1 IIR滤波器的类型和特性**

IIR滤波器根据其幅度响应特性分为三种主要类型：

**2.1.1 巴特沃斯滤波器**

巴特沃斯滤波器具有平坦的通带响应和单调的阻带衰减。其幅度响应在通带内保持恒定，而在阻带内以 20 dB/十倍频程的速率衰减。巴特沃斯滤波器以其平滑的响应和良好的稳定性而闻名。

**2.1.2 契比雪夫滤波器**

契比雪夫滤波器在通带内具有涟漪，但在阻带内具有更陡峭的衰减。其幅度响应在通带内以等幅振荡的方式波动，而在阻带内以 60 dB/十倍频程的速率衰减。契比雪夫滤波器以其紧凑的截止特性和低阶实现而著称。

**2.1.3 椭圆滤波器**

椭圆滤波器在通带和阻带内都具有涟漪。其幅度响应在通带和阻带内以等幅振荡的方式波动，并且具有比契比雪夫滤波器更陡峭的衰减。椭圆滤波器以其高阶实现和极窄的截止特性而闻名。

**2.2 IIR滤波器设计方法**

IIR滤波器设计方法可分为两大类：

**2.2.1 频域设计法**

频域设计法直接在频率域中设计滤波器。它涉及到在频率域中指定所需的幅度和相位响应，然后使用傅里叶变换或反傅里叶变换将其转换为时域滤波器系数。

**2.2.2 时域设计法**

时域设计法直接在时域中设计滤波器。它涉及到在时域中指定所需的冲激响应或阶跃响应，然后使用差分方程或状态空间方程将其转换为滤波器系数。

**代码块：**

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义巴特沃斯滤波器参数
order = 5
cutoff_freq = 100  # Hz

# 设计巴特沃斯滤波器
b, a = signal.butter(order, cutoff_freq, analog=False)

# 计算频率响应
w, h = signal.freqz(b, a)

# 绘制频率响应
plt.figure()
plt.plot(w, 20 * np.log10(abs(h)))
plt.title('巴特沃斯滤波器频率响应')
plt.xlabel('频率 (Hz)')
plt.ylabel('幅度 (dB)')
plt.grid()
plt.show()

**逻辑分析：**

这段代码使用 `scipy.signal.butter` 函数设计了一个 5 阶巴特沃斯滤波器，截止频率为 100 Hz。`butter` 函数返回滤波器的传递函数系数 `b` 和 `a`。然后，使用 `scipy.signal.freqz` 函数计算滤波器的频率响应，并将其绘制在图中。

**参数说明：**

* `order`: 滤波器的阶数
* `cutoff_freq`: 滤波器的截止频率
* `analog`: 指定滤波器是模拟滤波器还是数字滤波器

# 3.1 稳定性问题

#### 3.1.1 避免极点位于单位圆外

IIR滤波器的稳定性至关重要，因为它决定了滤波器输出信号是否会随着时间的推移而发散。IIR滤波器的稳定性取决于其极点的位置：如果任何极点位于单位圆外，则滤波器将不稳定。

为了确保稳定性，必须避免极点位于单位圆外。这可以通过以下方法实现：

- **使用稳定性判据：**例如奈奎斯特稳定性判据或根轨迹分析，可以确定极点是否位于单位圆外。
- **使用稳定的滤波器设计方法：**例如巴特沃斯滤波器设计方法，可以保证极点位于单位圆内。

#### 3.1.2 使用稳定性判据

奈奎斯特稳定性判据是一种图形化方法，用于确定IIR滤波器的稳定性。该判据基于以下原理：

- 如果滤波器的极点和零点都在单位圆内，则滤波器稳定。
- 如果滤波器的任何极点位于单位圆外，则滤波器不稳定。

奈奎斯特稳定性判据的步骤如下：

1. 绘制滤波器的极点和零点在复平面的位置。
2. 绘制单位圆。
3. 如果所有极点都在单位圆内，则滤波器稳定。
4. 如果任何极点位于单位圆外，则滤波器不稳定。

graph LR
subgraph 稳定滤波器
    A[极点1] -->|