深入解读IIR滤波器频域特性：掌握滤波器在频域中的表现

# 1. IIR滤波器频域特性概述

**1.1 IIR滤波器概述**

IIR（无限冲激响应）滤波器是一种数字滤波器，其输出信号不仅取决于当前输入信号，还取决于过去输入信号的加权和。IIR滤波器具有无限长的冲激响应，因此可以实现非常陡峭的截止频率和高精度滤波。

**1.2 IIR滤波器的频域特性**

频域分析是研究IIR滤波器特性的一种重要方法。频域特性描述了滤波器对不同频率信号的响应，包括幅度响应和相位响应。幅度响应表示滤波器对不同频率信号的增益，而相位响应表示滤波器对不同频率信号的相位偏移。

# 2. IIR滤波器频域分析理论

### 2.1 频域分析基础

频域分析是研究信号在频率域上的特性，它可以揭示信号的频谱分布，为滤波器设计和信号处理提供重要依据。频域分析中常用的工具有傅里叶变换和拉普拉斯变换。

傅里叶变换将时域信号转换为频域信号，它揭示了信号中各个频率分量的幅度和相位信息。拉普拉斯变换是傅里叶变换的推广，它可以处理时变信号和因果系统。

### 2.2 IIR滤波器的频率响应

IIR滤波器的频率响应是指其输出信号的幅度和相位随输入信号频率变化的关系。频率响应可以分为幅度响应和相位响应。

#### 2.2.1 幅度响应

IIR滤波器的幅度响应是指其输出信号的幅度相对于输入信号幅度的变化。幅度响应曲线通常以分贝（dB）为单位绘制，它可以反映滤波器对不同频率分量的衰减或增益。

#### 2.2.2 相位响应

IIR滤波器的相位响应是指其输出信号的相位相对于输入信号相位的变化。相位响应曲线通常以度或弧度为单位绘制，它可以反映滤波器对不同频率分量的延迟或超前。

### 2.3 IIR滤波器的极点和零点

极点和零点是IIR滤波器传递函数中的重要参数，它们决定了滤波器的频率响应。

#### 2.3.1 极点和零点的概念

极点是传递函数分母多项式为零的点，零点是传递函数分子多项式为零的点。极点和零点在复平面上表示为复数。

#### 2.3.2 极点和零点与频率响应的关系

极点和零点的位置决定了滤波器的频率响应。极点靠近单位圆则滤波器在该频率附近衰减较快，零点靠近单位圆则滤波器在该频率附近增益较大。

**代码块：**

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义传递函数
num = [1, 2, 1]
den = [1, 3, 2, 1]

# 计算频率响应
w = np.logspace(0, 3, 1000)
H = np.abs(np.polyval(num, 1j * w) / np.polyval(den, 1j * w))

# 绘制幅度响应
plt.figure()
plt.semilogx(w, 20 * np.log10(H))
plt.xlabel('Frequency (rad/s)')
plt.ylabel('Magnitude (dB)')
plt.title('Magnitude Response')

# 绘制相位响应
plt.figure()
plt.semilogx(w, np.unwrap(np.angle(H)))
plt.xlabel('Frequency (rad/s)')
plt.ylabel('Phase (rad)')
plt.title('Phase Response')

plt.show()

**代码逻辑分析：**

* 使用`numpy.logspace()`函数生成对数频率网格。
* 使用`numpy.polyval()`函数计算传递函数的幅度和相位响应。
* 使用`plt.semilogx()`函数绘制幅度响应和相位响应曲线。
* 使用`plt.xlabel()`和`plt.ylabel()`函数设置坐标轴标签。
* 使用`plt.title()`函数设置图表标题。
* 使用`plt.show()`函数显示图表。

**参数说明：**

* `w`：频率网格（rad/s）。
* `H`：传递函数的频率响应（幅度和相位）。
* `num`：传递函数分子多项式的系数。
* `den`：传递函数分母多项式的系数。

# 3.1 不同类型IIR滤波器的频域特性

#### 3.1.1 低通滤波器

低通滤波器允许低频信号通过，而衰减高频信号。其幅度响应曲线在截止频率以下平坦，在截止频率以上呈单调递减。相位响应曲线在截止频率以下为线性，在截止频率以上呈非线性。

#### 3.1.2 高通滤波器

高通滤波器允许高频信号通过，而衰减低频信号。其幅度响应曲线在截止频率以上平坦，在截止频率以下呈单调递减。相位响应曲线在截止频率以上为线性，在截止频率以下呈非线性。

#### 3.1.3 带通滤波器

带通滤波器允许特定频率范围内的信号通过，而衰减其他频率的信号。其幅度响应曲线在通带内平坦，在通带外呈单调递减。相位响应曲线在通带内为线性，在通带外呈非线性。

#### 3.1.4 带阻滤波器

带阻滤波器允许特定频率范围外的信号通过，而衰减该频率范围内的信号。其幅度响应曲线在阻带内呈单调递减，在阻带外平坦。相位响应曲线在阻带内为非线性，在阻带外为线性。

### 3.2 IIR滤波器频域特性的影响因素

#### 3.2.1 滤波器阶数

滤波器阶数是指滤波器传递函数中的极点和零点的个数。滤波器阶数