空间中向量的投影与方向角

# 1. 空间中向量的概念和性质

## 1.1 二维空间和三维空间的向量表示
在向量的世界中，我们首先要了解的是二维空间和三维空间中向量的表示方法。在二维空间中，一个向量通常由两个实数组成，分别表示横轴和纵轴上的分量；而在三维空间中，一个向量通常由三个实数组成，分别表示三个坐标轴上的分量。

# Python代码示例：二维空间中向量表示
vector_2d = [3, 4]  # 二维空间中的向量(3, 4)

# Python代码示例：三维空间中向量表示
vector_3d = [1, -2, 5]  # 三维空间中的向量(1, -2, 5)

## 1.2 向量的模长和方向
向量的模长代表了向量的长度，可以由向量的分量计算得出；向量的方向则是指向量所指的方向，在数学中通常以与坐标轴的夹角表示。

// Java代码示例：计算向量的模长
public double calculateMagnitude(double[] vector) {
    double sum = 0;
    for (int i = 0; i < vector.length; i++) {
        sum += Math.pow(vector[i], 2);
    }
    return Math.sqrt(sum);
}

// Java代码示例：计算向量的方向角
public double calculateDirection(double[] vector) {
    // 省略具体计算方法
    return direction;
}

## 1.3 向量的加法和数乘运算
向量的加法是指将两个向量对应分量相加得到一个新的向量；向量的数乘运算是指将向量的每一个分量都乘以一个常数。

// Go代码示例：向量加法
func addVectors(v1 []float64, v2 []float64) []float64 {
    sum := make([]float64, len(v1))
    for i := 0; i < len(v1); i++ {
        sum[i] = v1[i] + v2[i]
    }
    return sum
}

// Go代码示例：向量数乘
func scalarMultiplication(vector []float64, scalar float64) []float64 {
    result := make([]float64, len(vector))
    for i := 0; i < len(vector); i++ {
        result[i] = vector[i] * scalar
    }
    return result
}

# 2. 空间中向量的投影

向量投影是空间解析几何中的重要概念，它能帮助我们理解向量在空间中的投影关系，以及在实际问题中的应用。本章将重点介绍向量投影的定义、计算方法以及应用场景。

#### 2.1 向量投影的定义和意义

向量$\vec{a}$在向量$\vec{b}$上的投影，记作proj$\vec{a}(\vec{b})$，是一个标量，表示向量$\vec{a}$在向量$\vec{b}$方向上的投影长度。投影的意义在于描述一个向量在另一个向量方向上的投影情况，帮助我们理解向量之间的相对位置关系。

#### 2.2 向量投影的计算方法

给定向量$\vec{a}=(a_1, a_2,