MATLAB函数拟合进阶秘籍：探索5个高级拟合技术，拓展拟合能力

# 1. MATLAB函数拟合基础**

MATLAB函数拟合是利用数学函数来近似给定数据集的一种强大技术。其基本原理是找到一条或多条曲线，以最小的误差拟合数据点。MATLAB提供了丰富的函数库，可以轻松实现各种拟合任务。

**拟合函数类型**

MATLAB支持多种拟合函数类型，包括线性、多项式、指数、对数和高斯函数。选择合适的函数类型至关重要，因为它决定了拟合曲线的形状和复杂性。

**拟合过程**

拟合过程涉及以下步骤：

1. **数据准备：**准备要拟合的数据集，包括数据清理、归一化和预处理。
2. **函数选择：**根据数据的特点选择合适的拟合函数类型。
3. **参数估计：**使用最小二乘法或其他优化算法估计拟合函数的参数。
4. **拟合评估：**评估拟合曲线的优度，包括残差分析、拟合优度指标和交叉验证。

# 2.1 非线性拟合

非线性拟合是处理非线性关系数据的拟合技术。与线性拟合不同，非线性拟合模型的参数不能通过解析方法求解，需要使用迭代算法。

### 2.1.1 Levenberg-Marquardt算法

Levenberg-Marquardt算法（LM算法）是一种非线性最小二乘问题求解的迭代算法。它结合了梯度下降法和高斯-牛顿法的优点，具有快速收敛和鲁棒性强的特点。

**算法步骤：**

1. 初始化参数 θ，计算目标函数 f(θ) 和梯度 ∇f(θ)。
2. 计算Hessian矩阵 H(θ) 或其近似值。
3. 求解增广方程：
(H(θ) + λI)Δθ = -∇f(θ)
4. 更新参数：θ ← θ + Δθ
5. 重复步骤 2-4，直到满足收敛条件。

**参数说明：**

* θ：参数向量
* f(θ)：目标函数
* ∇f(θ)：梯度向量
* H(θ)：Hessian矩阵
* I：单位矩阵
* λ：阻尼因子

**代码块：**

% Levenberg-Marquardt算法拟合非线性函数
fun = @(x) x.^3 + 2*x.^2 - 5*x + 1;
x = linspace(-5, 5, 100);
y = fun(x) + 0.1 * randn(size(x));

% 初始参数
theta0 = [1, 1, 1];

% 迭代求解参数
options = optimset('Algorithm', 'levenberg-marquardt');
theta_lm = lsqnonlin(@(theta) sum((fun(x) - theta(1)*x.^3 - theta(2)*x.^2 + theta(3)*x).^2), theta0, [], [], options);

% 绘制拟合曲线
figure;
plot(x, y, 'o');
hold on;
plot(x, fun(x), 'r');
plot(x, theta_lm(1)*x.^3 + theta_lm(2)*x.^2 + theta_lm(3)*x, 'g');
legend('数据点', '真实曲线', '拟合曲线');
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Levenberg-Marquardt算法拟合非线性函数');

**逻辑分析：**

* `lsqnonlin`函数使用Levenberg-Marquardt算法求解非线性最小二乘问题。
* `fun`函数定义了非线性函数。
* `x`和`y`分别表示自变量和因变量。
* `theta0`是初始参数。
* `options`设置了算法选项。
* `theta_lm`是拟合得到的参数。
* 绘图部分展示了数据点、真实曲线和拟合曲线。

### 2.1.2 信赖域算法

信赖域算法也是一种非线性最小二乘问题求解的迭代算法。它通过建立目标函数在当前参数附近的一个信赖域，并在该信赖域内进行优化。

**算法步骤：**

1. 初始化参数 θ，计算目标函数 f(θ) 和梯度 ∇f(θ)。
2. 构建信赖域：
B(θ) =