信号的频域滤波与时域滤波

# 1. 信号处理基础概念

- 1.1 信号的定义与分类
- 1.2 时域与频域的基本概念
- 1.3 信号处理中的滤波原理简介

# 2. 频域分析与滤波

在信号处理中，频域分析和滤波是非常重要的概念。通过对信号在频域上的特性进行分析，我们可以实现诸如去噪、信号增强、特征提取等多种信号处理操作。本章将重点介绍频域分析与滤波的相关知识。

### 2.1 傅里叶变换在频域分析中的应用

傅里叶变换是信号处理中频域分析的基础工具之一。它可以将时域信号转换为频域表示，展示信号在不同频率下的成分信息，有助于我们理解信号的频谱特性，进而进行频域滤波等操作。下面是Python中使用傅里叶变换进行频谱分析的示例代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 生成一个含有多个频率成分的信号
fs = 1000  # 采样频率
t = np.linspace(0, 1, fs)
signal = np.sin(2 * np.pi * 5 * t) + 0.5 * np.sin(2 * np.pi * 50 * t)  # 含有5Hz和50Hz成分的信号

# 进行傅里叶变换
fft_result = np.fft.fft(signal)
freqs = np.fft.fftfreq(len(signal), 1/fs)
freqs = freqs[:len(freqs)//2]
fft_result = np.abs(fft_result[:len(fft_result)//2])

# 绘制频谱图
plt.figure()
plt.plot(freqs, fft_result)
plt.xlabel('Frequency (Hz)')
plt.ylabel('Amplitude')
plt.show()

### 2.2 频域滤波概念及分类

频域滤波是在频域对信号进行滤波操作，常见的频域滤波方法包括低通滤波、高通滤波、带通滤波和带阻滤波等。不同类型的滤波器可以用于去除特定频率范围内的噪声或信号成分，从而实现信号处理的目的。以下是一个简单的频域滤波示例代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 生成一个含有噪声的信号
fs = 1000
t = np.linspace(0, 1, fs)
signal = np.sin(2 * np.pi * 5 * t) + 0.5 * np.sin(2 * np.pi * 50 * t) + 0.2 * np.random.randn(fs)

# 进行频域低通滤波
fft_result = np.fft.fft(signal)
freqs = np.fft.fftfreq(len(signal), 1/fs)
cutoff_freq = 20  # 截止频率为20Hz
fft_result_filtered = fft_result.copy()
fft_result_filtered[np.abs(freqs) > cutoff_freq] = 0

# 恢复信号
filtered_signal = np.fft.ifft(fft_result_filtered)

# 绘制滤波前后的时域信号对比
plt.figure()
plt.subplot(2, 1, 1)
plt.plot(t, signal)
plt.title('Original Signal')
plt.subplot(2, 1, 2)
plt.plot(t, filtered_signal)
plt.title('Filtered Signal (Low Pass)')
plt.show()

在上面的代码中，我们首先生成了一