单位阵在向量空间中的意义：基底变换与坐标系

# 1. 单位阵与向量空间

单位阵，又称恒等矩阵，是一个对角线元素均为 1 的方阵。它在向量空间中具有重要的意义，因为它表示恒等映射，即一个向量映射到它自身的映射。

单位阵的性质包括：

- 乘法单位元：对于任何矩阵 A，都有 A * I = I * A = A，其中 I 是单位阵。
- 逆矩阵：单位阵的逆矩阵等于它自身，即 I^-1 = I。

# 2. 基底变换与坐标系

### 2.1 基底变换的定义和性质

#### 2.1.1 基底变换矩阵

**定义：**

设 V 是一个 n 维向量空间，B 和 B' 是 V 的两个基底。基底变换矩阵 P 从 B 变换到 B'，定义为：

P = [b₁ b₂ ... bₙ]

其中，bᵢ 是 B' 中的第 i 个基向量在 B 中的坐标。

**性质：**

* P 是一个 n×n 的可逆矩阵。
* P 的逆矩阵 P⁻¹ 是从 B' 变换到 B 的基底变换矩阵。

#### 2.1.2 基底变换的几何意义

基底变换可以几何地表示为：

* **旋转：**旋转基底 B 到 B' 相当于绕某个轴旋转坐标系。
* **平移：**平移基底 B 到 B' 相当于将坐标系平移一定距离。
* **缩放：**缩放基底 B 到 B' 相当于改变坐标系的单位长度。

### 2.2 坐标系的变换

#### 2.2.1 坐标系的定义和表示

**定义：**

坐标系是一个有序的基底组，用于定义向量空间中点的坐标。

**表示：**

坐标系可以表示为：

(O; e₁, e₂, ..., eₙ)

其中：

* O 是原点。
* eᵢ 是第 i 个基向量。

#### 2.2.2 坐标系变换矩阵

**定义：**

坐标系变换矩阵 T 从坐标系 (O; e₁, e₂, ..., eₙ) 变换到坐标系 (O'; e₁', e₂', ..., eₙ')，定义为：

T = [e₁ e₂ ... eₙ]

其中，eᵢ' 是 (O'; e₁', e₂', ..., eₙ') 中的第 i 个基向量在 (O; e₁, e₂, ..., eₙ) 中的坐标。

**性质：**

* T 是一个 n×n 的可逆矩阵。
* T 的逆矩阵 T⁻¹ 是从 (O'; e₁', e₂', ..., eₙ') 变换到 (O; e₁, e₂, ..., eₙ) 的坐标系变换矩阵。

#### 2.2.3 坐标系变换的应用

坐标系变换在以下方面有广泛应用：

* **空间点的坐标变换：**将空间点从一个坐标系变换到另一个坐标系。
* **向量在不同坐标系下的表示：**将向量从一个坐标系表示变换到另一个坐标系表示。
* **几何变换：**执行旋转、平移和缩放等几何变换。

# 3. 单位阵在基底变换中的作用

### 3.1 单位阵的性质

#### 3.1.1 乘法单位元

单位阵 `I` 具有乘法单位元的性质，即对于任何方阵 `A`，都有：

A * I = I * A = A

这表明单位阵与任何方阵相乘，都不会改变方阵本身。

#### 3.1.2 逆矩阵

单位阵 `I` 也是任何非奇异方阵 `A` 的逆矩阵，即：

A * A^(-1) = A^(-1) * A = I

这表明单位阵可以用来求解方阵的逆矩阵。

### 3.2 单位阵在基底变换中的应用

#### 3.2.1 基底变换矩阵的求解

设 `{v1, v2, ..., vn}` 是向量空间 `V` 中的一组基，`{w1, w2, ..., wn}` 是另一组基。则基底变换矩阵 `P` 从 `{v1, v2, ..., vn}` 到 `{w1, w2, ..., wn}` 可以表示为：

P = [w1, w2, ..., wn]

其中，`[w1, w2, ..., wn]` 是由基向量 `{w1, w2, ..., wn}` 的坐标组成的矩阵。

由于单位阵 `I` 是 `{v1, v2, ..., vn}` 的基底变换矩阵，因此：

I = [v1, v2, ..., vn]

因此，基底变换矩阵 `P` 可以表示为：

P = I * [w1, w2, ..., wn]

#### 3.