动态规划算法之最长公共子序列

# 1. 简介

## 1.1 什么是动态规划算法

动态规划算法是一种常用的问题求解方法，它通常用于解决具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。在动态规划的思想下，通过将问题分解成若干个子问题，然后分别求解这些子问题的最优解，最终得到原问题的解。

## 1.2 最长公共子序列问题的定义

最长公共子序列（Longest Common Subsequence，简称LCS）问题是一个经典的动态规划问题，在计算机科学中有着广泛的应用。给定两个字符串S和T，求它们的最长公共子序列的长度。子序列是指从原序列中删除若干个元素后得到的序列，而原序列中元素的相对顺序保持不变。

例如，对于S="ABCBDAB"和T="BDCAB"，它们的最长公共子序列是"BCAB"，长度为4。

接下来，我们将探讨最长公共子序列问题的暴力解法、动态规划解法以及优化空间复杂度的方法。

# 2. 暴力解法

暴力解法是最直观的解决方案，通过递归的方式穷举所有可能的子序列，然后比较它们的长度来找到最长的公共子序列。

### 2.1 递归求解最长公共子序列问题

我们可以定义一个递归函数来解决最长公共子序列问题。假设我们有两个字符串`str1`和`str2`，我们要找到它们的最长公共子序列。

def longest_common_subsequence(str1, str2):
    def recurse(i, j):
        if i == len(str1) or j == len(str2):
            return 0
        if str1[i] == str2[j]:
            return 1 + recurse(i + 1, j + 1)
        else:
            return max(recurse(i + 1, j), recurse(i, j + 1))
    return recurse(0, 0)

### 2.2 时间复杂度分析

在最坏情况下，递归解法的时间复杂度是O(2^n)，其中n是字符串的长度。这是因为在每一步递归中，我们都有两个选择（要么将第一个字符串的字符添加到最长公共子序列中，要么将第二个字符串的字符添加到最长公共子序列中）。

尽管暴力解法在时间复杂度上存在指数级别的问题，但它是问题的最直接解法，并且为后续的动态规划解法提供了一个思路基础。在接下来的章节中，我们将介绍如何使用动态规划来优化最长公共子序列问题的求解过程。

# 3. 动态规划解法

动态规划是解决最长公共子序列问题的一种常见方法。下面我们将详细介绍动态规划算法在最长公共子序列问题中的应用。

#### 3.1 状态定义

在动态规划中，我们需要定义状态以及状态之间的关系。对于最长公共子序列问题，我们可以定义状态 `dp[i][j]` 表示 `text1[:i]` 和 `text2[:j]` 中的最长公共子序列的长度。其中 `text1[:i]` 表示 `text1` 的前 `i` 个字符，`text2[:j]` 表示 `text2` 的前 `j` 个字符。

#### 3.2 状态转移方程

接下来，我们需要找到状态转移方程，即如何根据已知状态推导出新的状态。根据最长公共子序列的定义，当 `text1[i-1] == text2[j-1]` 时，`dp[i][j]` 可以由 `dp[i-1][j-1] + 1` 推导而来；当 `text1[i-1] != t