曲面图的挑战：解决复杂性和数据密集型，突破技术瓶颈

# 1. 曲面图概述

曲面图是一种用于表示三维曲面的图形化技术。它通过将三维空间中的点投影到二维平面上来创建曲面的可视化。曲面图广泛应用于科学可视化、工程设计和计算机图形学等领域。

曲面图的数学基础建立在隐函数和参数方程之上。隐函数定义了曲面的隐式方程，而参数方程则显式地定义了曲面的位置。曲面图的曲率和法线是描述曲面几何性质的重要概念。曲率衡量曲面的弯曲程度，而法线表示曲面在特定点处的垂直方向。

# 2. 曲面图理论基础

### 2.1 曲面图的数学原理

#### 2.1.1 隐函数和参数方程

曲面图可以用隐函数或参数方程来表示。隐函数的形式为 F(x, y, z) = 0，其中 F 是一个三元函数。参数方程的形式为 x = f(u, v), y = g(u, v), z = h(u, v)，其中 u 和 v 是参数。

#### 2.1.2 曲面图的曲率和法线

曲面图的曲率描述了其弯曲程度。法线是垂直于曲面图在某一点上的切平面的向量。曲率和法线可以通过以下公式计算：

# 曲率
def curvature(f, g, h, u, v):
    """
    计算曲面图的曲率。

    参数：
        f: x 坐标的参数方程。
        g: y 坐标的参数方程。
        h: z 坐标的参数方程。
        u: 参数 u 的值。
        v: 参数 v 的值。
    """
    # 求导数
    fu = f.diff(u)
    fv = f.diff(v)
    gu = g.diff(u)
    gv = g.diff(v)
    hu = h.diff(u)
    hv = h.diff(v)

    # 计算法线向量
    n = (fu * gv - gu * fv) * i + (fv * hu - hv * fu) * j + (gu * hu - hv * gu) * k

    # 计算曲率
    k = n.norm() / (fu**2 + gu**2 + hu**2)**1.5

    return k

# 法线
def normal(f, g, h, u, v):
    """
    计算曲面图的法线向量。

    参数：
        f: x 坐标的参数方程。
        g: y 坐标的参数方程。
        h: z 坐标的参数方程。
        u: 参数 u 的值。
        v: 参数 v 的值。
    """