误差函数在科学计算中的应用：解决复杂问题（实用技巧）

# 1. 误差函数的理论基础

误差函数，也称为高斯误差函数，是一个重要的数学函数，在概率论、统计学、热传导和流体力学等领域有着广泛的应用。

误差函数定义为：

erf(z) = (2/√π) ∫[0,z] e^(-t^2) dt

其中，z 是一个复数。

误差函数具有以下性质：

* 奇函数：erf(-z) = -erf(z)
* 归一化：erf(0) = 0，erf(∞) = 1
* 复数论证：erf(z) = (2/√π) ∫[0,z] e^(-t^2) dt

# 2. 误差函数的数值计算

### 2.1 误差函数的渐近展开

对于较大的 `x` 值，误差函数可以表示为渐近展开：

erf(x) ≈ 1 - (1/x^2) + (2/x^4) - (3/x^6) + ...

这个展开式对于 `x > 1` 时收敛得很快。

### 2.2 误差函数的积分表示

误差函数也可以表示为积分：

erf(x) = (2/√π) ∫_0^x e^(-t^2) dt

这个积分表示可以用来计算误差函数的值。

### 2.3 误差函数的数值积分

误差函数的数值积分可以使用各种方法来计算，例如：

- **辛普森积分法**：一种数值积分方法，将积分区间划分为多个子区间，并使用二次多项式来近似每个子区间上的被积函数。
- **高斯-勒让德积分法**：一种数值积分方法，使用高斯-勒让德正交多项式作为积分公式中的权重函数。
- **自适应积分法**：一种数值积分方法，根据被积函数的局部行为来调整积分步长，以提高精度。

import numpy as np

# 使用辛普森积分法计算误差函数
def erf_simpson(x):
    n = 100  # 积分步长
    h = (x - 0) / n
    sum = 0
    for i in range(1, n):
        sum += h * (np.exp(-(0 + i * h)**2) + 4 * np.exp(-(0 + (i + 1) * h)**2) + np.exp(-(0 + (i + 2) * h)**2)) / 6
    return (2 / np.sqrt(np.pi)) * sum

# 使用高斯-勒让德积分法计算误差函数
def erf_gauss_legendre(x):
    from scipy.integrate import quad
    return quad(lambda t: np.exp(-t**2), 0, x)[0] * 2 / np.sqrt(np