线性时不变系统（LTI）的性质与稳态输出响应

# 1. 线性时不变系统（LTI）基础概念

## 1.1 LTI系统的定义与特性

在这一部分，我们将介绍线性时不变系统（LTI）的基本定义和特性。我们将深入探讨LTI系统的线性性质以及其在实际应用中的重要性。

## 1.2 线性系统的性质及其在LTI系统中的应用

本节将讨论线性系统的各项重要性质，并探讨这些性质在LTI系统中的应用。我们将重点讨论线性系统的叠加原理以及线性系统的输出响应与输入信号的关系。

## 1.3 时不变系统的概念与重要性

时不变系统是LTI系统的核心概念之一。我们将详细解释时不变系统的概念，并讨论时不变性在系统稳定性及输出响应中的重要性。

# 2. LTI系统的传递函数与频域分析

### 2.1 传递函数的定义与性质

在线性时不变（LTI）系统中，传递函数是描述系统输入输出关系的重要工具。传递函数通常由系统的拉普拉斯变换或者Z变换得到，它将输入信号的变换域表示与输出信号的变换域表示联系起来。

传递函数的定义：对于一个连续时间LTI系统，假设输入信号为$x(t)$，输出信号为$y(t)$，则传递函数$H(s)$定义为输出变换域表示$Y(s)$与输入变换域表示$X(s)$之间的比值：

$$H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)}$$

其中，$s$是拉普拉斯变量。

对于离散时间LTI系统，传递函数的定义稍有不同。假设输入信号为$x[n]$，输出信号为$y[n]$，则传递函数$H(z)$定义为输出变换域表示$Y(z)$与输入变换域表示$X(z)$之间的比值：

$$H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)}$$

其中，$z$是Z变量。

传递函数的性质：

- 线性性：LTI系统的传递函数是线性的，即满足叠加原理。如果输入信号为$x_1(t)$并产生输出$y_1(t)$，输入信号为$x_2(t)$并产生输出$y_2(t)$，则对于任意常数$a_1$和$a_2$，通过输入信号$ax_1(t)+bx_2(t)$得到的输出是$a_1y_1(t)+a_2y_2(t)$。

- 时不变性：LTI系统的传递函数是时不变的，即对于一个延迟输入信号$x(t-\tau)$，对应输出信号为$y(t-\tau)$，传递函数为$H(s)$。传递函数的时不变性满足以下关系：

$$H(s)e^{-\tau s} = H(s)e^{-\tau s}$$

### 2.2 频域分析在稳态输出响应中的应用

通过传递函数的频域分析，我们可以获得系统的稳态输出响应。

在频域中，输入信号和输出信号都可以表示为复数形式。我们可以将传递函数$H(s)$表示为频域中的特定频率响应，即将传递函数传入复平面的曲线。

常见的频域分析方法有Bode图和Nyquist图。Bode图用于表示传递函数的振幅响应和相位响应，而Nyquist图则用于表示频域中的稳定性。

Bode图使用对数坐标来绘制传递函数的频率响应。通过Bode图，我们可以直观地看到系统对不同频率的输入信号的增益和相位差。

Nyquist图则是将传递函数在复平面上绘制成极坐标形式。通过Nyquist图，我们可以判断系统的稳定性：如果Nyquist曲线的极点都在点(-1,0)的左侧，则系统是稳定的。

### 2.3 Bode图和Nyquist图的绘制与分析

在实际应用中，我们可以利用计算机工具绘制和分析Bode图和Nyquist图。

以下是使用Python绘制Bode图的简单示例代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import signal

# 定义系统的传递函数
num = [1]
den = [1, 1, 1]
sys = signal.TransferFunction(num, den)

# 设定频率范围
w, mag, phase = signal.bode(sys, np.logspace(-2, 2, 1000))

# 绘制Bode图
plt.figure()
plt.semilogx(w, mag)
plt.xlabel('Frequency [rad/s]')
plt.ylabel('Magnitude [dB]')
plt.grid(True)
plt.title('Bode Plot')
plt.show()

以下是使用Python绘制Nyquist图的简单示例代码：

import numpy as np
import matplo