激活函数的选用与分析：ReLU、Sigmoid、Tanh

# 第一章：激活函数简介

## 1.1 激活函数的作用和意义

在神经网络中，激活函数起着至关重要的作用。它的主要作用是对神经元的输出进行非线性变换，使神经网络能够学习和处理复杂的数据模式。激活函数能够给神经网络引入非线性因素，从而使神经网络可以逼近任意复杂的非线性函数，提高其表达能力和拟合能力。

## 1.2 激活函数的种类和分类

常见的激活函数主要包括ReLU（Rectified Linear Unit）、Sigmoid和Tanh等，在实际应用中根据不同的需求和场景进行选择。激活函数可以分为线性激活函数和非线性激活函数，其中线性激活函数的输出是输入的线性函数，而非线性激活函数则能够引入非线性因素。

## 1.3 激活函数在神经网络中的应用

## 第二章：ReLU激活函数

ReLU（Rectified Linear Unit）激活函数是一种常用的非线性函数，在深度学习中被广泛应用。它具有以下特点：

### 2.1 ReLU激活函数的定义和特点

ReLU激活函数的数学表达式为：
\[ f(x) = max(0, x) \]

其特点包括：
- 简单计算：ReLU函数只需要进行一次比较操作和取最大值操作，计算速度较快。
- 解决梯度消失问题：相比于Sigmoid和Tanh等激活函数，ReLU在正区间上的导数恒为1，有助于缓解梯度消失问题。

### 2.2 ReLU对梯度消失问题的改善

在深度神经网络中，梯度消失问题会导致网络难以训练，而ReLU的导数在正区间上恒为1，可以有效缓解梯度消失问题，使得网络的训练更加稳定和高效。

### 2.3 实际应用中的优势和局限性

优势：
- 加速收敛：ReLU可以加速网络的收敛速度，提升训练效率。
- 稀疏激活性：在正区间上，输出为0的特性使得网络的稀疏性增强，有助于减少过拟合。

局限性：
- 死亡神经元：ReLU在负区间上的输出恒为0，导致一些神经元可能永远不会被激活，称为“死亡神经元”现象。
- 非对称性：ReLU的输出在负半轴上是完全不活跃的，可能导致一些问题。

### 3. 第三章：Sigmoid激活函数
Sigmoid激活函数是一种常用的非线性激活函数，其定义如下：
$$
\sigma(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}}
$$

#### 3.1 Sigmoid激活函数的定义