大学物理—力学：振动力学基础

# 1. 引言

## 1.1 研究背景

在物理学中，振动力学是一个重要的研究领域。振动力学研究物体在受到外力作用后会发生的振动现象，以及振动系统的运动规律和性质。振动在自然界和工程实践中都有着广泛的应用，例如在机械工程、电子工程、地震学、音乐等领域都能见到振动的身影。

振动力学的研究不仅对于深入理解自然界的运动规律有着重要意义，而且对于工程设计和优化也具有重要的指导作用。因此，深入研究振动力学的基本理论和应用方法，对于提高工程实践的质量和效率具有重要的意义。

## 1.2 研究目的

本文旨在介绍振动力学的基本概念、数学描述和解决方法，并通过实验研究验证理论的有效性。具体内容包括单自由度振动系统和多自由度振动系统的基本理论，以及简谐振动和阻尼振动的实验研究。通过对振动力学的研究和实验，期望能够加深对振动力学的理解，为工程实践提供更准确的理论基础和技术支持。

# 2. 物理学中的振动力学概述

### 2.1 什么是振动力学

振动力学是研究物体围绕平衡位置做周期性运动的物理学分支。在自然界和工程中，振动普遍存在于各种物体和系统中，包括机械结构、电路、建筑物等。

### 2.2 振动系统的基本元素

振动系统由三个基本元素组成：质量、弹性和阻尼。质量是振动系统的物理属性，弹性表示系统恢复力的特性，而阻尼则表示能量损失的情况。这些元素共同作用决定了系统的振动性质。

### 2.3 振动的分类

根据振动的特征和性质，振动可以被分为以下几类：

#### 2.3.1 自由振动

自由振动是指在没有外界干扰和驱动力的情况下，振动系统根据其初始条件进行周期性震荡的过程。在自由振动中，没有能量的输入和输出，系统内部的能量只在自身之间转换。

#### 2.3.2 强迫振动

强迫振动是指在振动系统中加入外界驱动力的情况下发生的振动。外界驱动力可以是恒定的或变化的，通过对振动系统施加不同的驱动力，可以观察到系统对外界输入信号的响应。

#### 2.3.3 受迫振动

受迫振动是指振动系统受到外界周期性驱动力作用时的振动。外界驱动力可以是周期性的，也可以是非周期性的，系统对外界信号的响应通常与驱动力的频率有关。

### 2.4 振动的数学描述

振动可以使用数学公式进行描述和分析。在振动力学中，常用的数学描述方法包括微分方程、矩阵运算和线性代数等。通过建立数学模型，可以求解振动系统的运动方程和振动特性。这些数学工具在实际应用中非常重要，能够帮助我们理解和预测振动现象的发生和变化。

# 3. Single Degree of Freedom（SDOF）系统

#### 3.1 单自由度振动系统的基本概念

在振动力学中，单自由度振动系统是研究振动现象的基本模型。它由质点、弹簧和阻尼器构成。质点质量为m，通过弹簧与固定平面连接，弹簧的劲度系数为k，阻尼器的阻尼系数为c。这一系统的自由度为1，因为质点只能在一个方向上自由运动。单自由度振动系统的运动方程可以通过牛顿第二定律推导得到。

#### 3.2 单自由度振动系统的运动方程

设质点的位移为x(t)，速度为v(t)，加速度为a(t)，根据牛顿第二定律，可以得到单自由度振动系统的运动方程：

m * d^2x/dt^2 + c * dx/dt + k * x = 0

其中，m是质点的质量，c是阻尼器的阻尼系数，k是弹簧的劲度系数。这