符号计算利器：解析方程，处理符号表达式，拓展MATLAB数学建模边界

# 1. 符号计算简介**

符号计算，也称为计算机代数系统（CAS），是一种计算机科学领域，它允许用户使用符号（变量、常量和函数）进行数学计算，而不是使用数字。与数值计算不同，符号计算可以处理精确的数学表达式，并提供符号结果，而不是近似值。

符号计算在科学、工程和数学等领域有着广泛的应用。它可以用于求解方程、积分、微分、行列式和微分方程等复杂数学问题。符号计算工具还可以用于验证数值计算结果，并为复杂的数学模型提供符号表示。

# 2.1 符号表达式的表示和操作

### 2.1.1 符号变量和符号常量

符号变量是代表未知量或可变量的符号。它们使用字母（如 x、y、z）或字母和数字的组合（如 a1、b2）表示。符号常量是代表固定值或常量的符号。它们通常使用大写字母（如 PI、E）表示。

% 定义符号变量
syms x y z

% 定义符号常量
syms PI E

### 2.1.2 符号表达式的创建和修改

符号表达式是使用符号变量和符号常量创建的数学表达式。可以使用符号运算符（如 +, -, *, /）和函数（如 sin、cos、exp）创建符号表达式。

% 创建符号表达式
expr = x^2 + y^2 + z^2;

% 修改符号表达式
expr = simplify(expr); % 化简表达式
expr = expand(expr); % 展开表达式

### 2.1.3 符号表达式的化简和求值

符号化简是指将符号表达式转换为更简单的形式。符号求值是指计算符号表达式的数值。

% 化简符号表达式
simplified_expr = simplify(expr);

% 求值符号表达式
value = double(simplified_expr); % 将符号表达式转换为双精度浮点数

# 3. 符号计算实践

### 3.1 方程求解

#### 3.1.1 一元方程求解

一元方程求解是符号计算中最基本的任务之一。在 MATLAB 中，可以使用 `solve` 函数求解一元方程。`solve` 函数的语法如下：

solve(equation, variable)

其中：

* `equation` 是要求解的方程，可以是符号表达式或字符向量。
* `variable` 是方程中要解的变量，可以是符号变量或字符向量。

例如，求解方程 `x^2 - 1 = 0`，可以使用以下代码：

syms x;
equation = x^2 - 1;
solution = solve(equation, x);
disp(solution);

输出结果为：

x = 1
x = -1

#### 3.1.2 多元方程求解

多元方程求解比一元方程求解要复杂一些。在 MATLAB 中，可以使用 `solve` 函数或 `fsolve` 函数求解多元方程。

`solve` 函数可以求解多元方程组，但只能得到解析解。如果方程组没有解析解，则可以使用 `fsolve` 函数求解数值解。

例如，求解方程组：

x + y = 5
x - y = 1

可以使用以下代码：

sy