MATLAB应用深度解析：【控制工程时域分析案例】，从理论到实践

# 1. 控制工程时域分析的基础理论

在现代控制工程中，时域分析是理解系统动态行为的关键工具。本章将介绍时域分析的基本概念，为后续在MATLAB环境下的建模和分析工作打下坚实的基础。

## 1.1 时域分析的含义与重要性

时域分析，顾名思义，是在时间域内分析系统动态响应的方法。它允许工程师观察系统对输入变化的实时响应，评估系统的瞬态和稳态行为。这一技术对于设计稳定且性能优良的控制系统至关重要。

## 1.2 系统响应的基本类型

控制系统在受到输入信号刺激后，会表现出不同的响应类型，包括瞬态响应和稳态响应。瞬态响应是指系统从初始状态到达稳态之前的动态过程，而稳态响应则描述了输入稳定后系统的行为。

## 1.3 时域性能指标

为了定量描述系统性能，引入了多种时域性能指标，如上升时间、峰值时间、调整时间和稳态误差等。这些指标帮助工程师衡量系统的快速性、稳定性和精确性，为后续设计提供指导。

时域分析是控制工程中不可或缺的一环，它直接关系到控制系统的性能与稳定性。下一章，我们将深入探讨如何在MATLAB这一强大的计算平台上，将理论应用于实践，创建出精确的控制模型。

# 2. MATLAB环境下的控制工程建模

### 2.1 MATLAB在控制系统中的应用概述

在现代控制系统的设计与分析中，MATLAB软件因其强大的计算能力和直观的编程环境而被广泛应用于各个领域。其控制工具箱为控制系统的建模、仿真、分析和设计提供了全面的工具。

#### 2.1.1 MATLAB控制工具箱简介

控制工具箱是MATLAB众多专业工具箱中的一个重要分支，它集中了大量用于控制系统分析和设计的函数。这些函数允许工程师在同一个软件环境中完成控制系统的设计、仿真、分析以及实现。

控制工具箱主要包括以下几类功能：

- 系统模型的创建与操作
- 时域和频域分析工具
- 控制器的设计与仿真
- 系统性能的评估与优化

#### 2.1.2 MATLAB与控制系统建模的关系

MATLAB在控制系统的建模过程中发挥着核心作用。它不仅能够处理复杂的数学运算，还能以图形化的方式直观展示系统模型和结果。通过MATLAB，用户可以轻松地构建控制系统的数学模型，并对其进行数值仿真。

在建模过程中，MATLAB提供了一系列函数和工具，使得控制系统的建模过程变得更加直观和高效。例如，使用`tf`函数可以创建传递函数模型，使用`ss`函数可以创建状态空间模型，这些模型都可以通过MATLAB的图形用户界面进行直观的操作。

### 2.2 线性时不变系统的建模方法

线性时不变系统（LTI）是控制理论中研究的基础。MATLAB提供了多种方法来建立这种系统的数学模型，主要分为状态空间模型和传递函数模型。

#### 2.2.1 状态空间模型的建立

状态空间模型是一种描述系统内部状态和如何随时间变化的方法。该模型由四个矩阵组成（A，B，C，D），分别代表系统矩阵、输入矩阵、输出矩阵和直接传递矩阵。

状态空间模型的建立通常遵循以下步骤：

1. 根据系统的物理特性，确定系统的状态变量。
2. 利用能量守恒、质量守恒等物理定律列出系统的微分方程。
3. 将微分方程转化成矩阵形式，从而得到状态空间模型。

A = [ 0 1; -a b ];
B = [ 0; 1 ];
C = [ 1 0 ];
D = [ 0 ];

sys = ss(A, B, C, D);

在上述代码中，`A`、`B`、`C`、`D`分别代表状态矩阵、输入矩阵、输出矩阵和直接传递矩阵。`ss`函数用于建立状态空间模型。这样，我们就创建了一个状态空间表示的系统模型`sys`。

#### 2.2.2 传递函数模型的转换与分析

传递函数模型是用拉普拉斯变换来描述线性系统的输入输出关系。对于简单的LTI系统，传递函数模型提供了一种非常直观的数学表示。

传递函数模型可以使用MATLAB中的`tf`函数从状态空间模型转换得到：

num = [ a b ]; % 分子多项式系数
den = [ 1 c d ]; % 分母多项式系数

sys_tf = tf(num, den);

上述代码中`num`和`den`分别代表了传递函数的分子和分母多项式系数，`tf`函数根据这些系数生成了传递函数模型`sys_tf`。

### 2.3 非线性系统的线性化技术

现实世界中的许多控制系统都具有非线性特性。在某些条件下，可以使用小信号分析和线性化技术将非线性系统近似为线性系统，以便于分析和设计。

#### 2.3.1 小信号分析与线性化方法

小信号分析基于假设系统的输入信号非常小，以至于系统在稳态工作点附近的响应可以近似为线性。此时，可以通过对系统的微分方程进行线性化处理来分析其动态特性。

假设一个非线性系统的动态特性由以下方程描述：

x_dot = -f(x) + g(x)*u;
y = h(x);

其中`x`是系统的状态向量，`u`是输入，`y`是输出。我们可以计算出系统在平衡点`x_0`和`u_0`附近的雅可比线性化。

#### 2.3.2 多线性化技术的应用实例

为了更深入理解非线性系统的线性化技术，在MATLAB环境下进行一个实际操作是很有帮助的。考虑到一个简单的非线性系统，例如一个具有饱和特性的放大器，我们可以在MATLAB中对其进行线性化处理：

% 定义非线性放大器的传递函数
f = @(u) tanh(10*u);

% 设计一个小信号
u_small = 0.01;

% 线性化点
u_0 = 0;
x_0 = f(u_0);

% 计算雅可比线性化
df = @(u) 10*(1 - tanh(10*u).^2);
g = df(u_0);

% 近似线性模型
sys_linearized = tf(g, [1 0]);

在上述代码中，我们定义了非线性系统的动态特性，并通过小信号方法得到线性化的近似。然后，我们使用`tf`函数建立了一个线性化的模型。通过分析`sys_linearized`，我们可以在MATLAB环境中进一步研究系统的动态行为。

通过这些方法，我们可以将非线性系统的复杂性简化，便于使用线性系统理论来设计控制器，并分析系统的稳定性。

# 3. 时域分析方法在MATLAB中的实现

时域分析是控制工程中理解和设计系统响应的基础，MATLAB作为强大的科学计算软件，提供了丰富的工具和函数来支持时域分析。通过使用MATLAB，工程师和研究人员可以在时域中模拟和分析线性和非线性系统的行为，评估系统性能，以及进行设计和优化。

## 3.1 系统响应的时域分析基础

### 3.1.1 时域性能指标的定义与计算

时域性能指标是衡量系统响应特性的关键参数，通常包括上升时间、峰值时间、稳态误差和超调量等。在MATLAB中，这些指标可以直接通过系统的时域响应数据进行计算。以一个简单的传递函数模型为例：

s = tf('s');
G = 1/(s^2 + 2*s + 2); % 定义一个二阶系统
t = 0:0.01:10; % 定义时间向量
[y, t] = step(G, t); % 时域仿真

% 计算上升时间、峰值时间和稳态误差
riseTime = riseTime(y, t);
peakTime = t(y == max(y));
steadyStateError = abs(1 - y(end));

### 3.1.2 稳定性与极点位置的关系

系统的稳定性直接与系统的极点位置相关。如果系统的极点都位于复平面的左半部分，则系统是稳定的。MATLAB可以方便地求解系统极点，并绘制根轨迹来分析系统稳定性。

poles = pole(G); % 求解系统极点
rlocus(G) % 绘制根轨迹图

## 3.2 MATLAB中的时域仿真技术

### 3.2.1 step函数和impulse函数的应用

MATLAB的控制系统工具箱提供了step和impulse函数，分别用于绘制系统的阶跃响应和脉冲响应。这些函数对于理解系统的时间响应行为至关重要。

step(G) % 绘制系统的阶跃响应
impulse(G) % 绘制系统的脉冲响应

### 3.2.2 非线性系统时域分析的仿真实践

对于非线性系统，MATLAB也提供了仿真工具来分析其时