图论算法:Dijkstra算法详解与Java实现,透彻理解算法原理,轻松实现最短路径计算

发布时间: 2024-08-28 00:01:30 阅读量: 77 订阅数: 33
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algorithm:从头开始用java实现《算法竞赛入门经典》算法

![图论算法:Dijkstra算法详解与Java实现,透彻理解算法原理,轻松实现最短路径计算](https://img-blog.csdnimg.cn/7f4300ce78464d28be73239f93c8288b.png) # 1. 图论算法概览 图论算法是计算机科学中用于解决图论问题的算法。图论是一种数学模型,用于表示由节点(顶点)和边组成的结构。图论算法广泛应用于网络路由、社交网络分析、交通规划等领域。 图论算法主要分为两大类:最短路径算法和最小生成树算法。最短路径算法用于寻找图中两点之间的最短路径,而最小生成树算法用于寻找图中连接所有节点的最小权重子图。 本章将介绍图论算法的基本概念、分类和应用,为后续章节的深入讨论奠定基础。 # 2. Dijkstra算法理论基础 ### 2.1 图论基础知识 #### 2.1.1 图的概念和基本术语 **图**:图是一种数据结构,用于表示对象之间的关系。它由一组称为**顶点**(或节点)的对象和一组称为**边**(或弧)的关系组成。 **顶点**:图中的对象,通常用数字或字母表示。 **边**:连接两个顶点的关系,通常用线段表示。 **权重**:边上附加的值,表示边上的距离、成本或其他度量。 #### 2.1.2 图的表示方式 **邻接矩阵**:一个二维数组,其中元素表示顶点之间的权重。 **邻接表**:一个数组,其中每个元素是一个链表,包含与该顶点相邻的顶点和权重。 ### 2.2 Dijkstra算法原理 #### 2.2.1 算法思想和步骤 Dijkstra算法是一种贪心算法,用于寻找图中从一个源顶点到其他所有顶点的最短路径。其基本思想是: 1. 初始化源顶点到其他所有顶点的距离为无穷大,源顶点到自身的距离为0。 2. 重复以下步骤,直到所有顶点都被访问过: - 选择当前距离最小的未访问顶点。 - 将该顶点标记为已访问。 - 更新该顶点相邻顶点的距离,如果通过该顶点到相邻顶点的路径更短。 #### 2.2.2 算法复杂度分析 Dijkstra算法的时间复杂度为 `O(V^2)`,其中V是图中的顶点数。这是因为算法在每次迭代中访问一个顶点,并在最坏情况下访问所有V个顶点。 ```java import java.util.*; public class Dijkstra { private int[] distance; // 从源顶点到每个顶点的距离 private boolean[] visited; // 顶点是否已访问 private Map<Integer, List<Edge>> graph; // 图的邻接表表示 public Dijkstra(Map<Integer, List<Edge>> graph) { this.graph = graph; int V = graph.size(); distance = new int[V]; visited = new boolean[V]; } public void computeShortestPaths(int source) { // 初始化距离 for (int i = 0; i < distance.length; i++) { distance[i] = Integer.MAX_VALUE; } distance[source] = 0; // 贪心算法 while (true) { // 找到当前距离最小的未访问顶点 int minDistance = Integer.MAX_VALUE; int minVertex = -1; for (int i = 0; i < distance.length; i++) { if (!visited[i] && distance[i] < minDistance) { minDistance = distance[i]; minVertex = i; } } // 如果所有顶点都已访问,则算法结束 if (minVertex == -1) { break; } // 将该顶点标记为已访问 visited[minVertex] = true; // 更新相邻顶点的距离 for (Edge edge : graph.get(minVertex)) { int neighbor = edge.getDestination(); int newDistance = distance[minVertex] + edge.getWeight(); if (newDistance < distance[neighbor]) { distance[neighbor] = newDistance; } } } } public int getDistance(int vertex) { return distance[vertex]; } public static void main(String[] args) { // 创建一个图 Map<Integer, List<Edge>> graph = new HashMap<>(); graph.put(0, Arrays.asList(new Edge(1, 4), new Edge(2, 2))); graph.put(1, Arrays.asList(new Edge(2, 3))); graph.put(2, Arrays.asList(new Edge(3, 2), new Edge(4, 5))); graph.put(3, Arrays.asList(new Edge(4, 1))); graph.put(4, Collections.emptyList()); // 计算从顶点0到其他所有顶点的最短路径 Dijkstra dijkstra = new Dijkstra(graph); dijkstra.computeShortestPaths(0); // 打印最短路径 for (int i = 0; i < dijkstra.distance.length; i++) { System.out.println("最短路径从0到" + i + ": " + dijkstra.getDistance(i)); } } } class Edge { private int destination; private int weight; public Edge(int destination, int weight) { this.destination = destination; this.weight = weight; } public int getDestination() { return destination; } public int getWeight() { return weight; } } ``` **代码逻辑逐行解读:** * `computeShortestPaths` 方法:计算从源顶点到其他所有顶点的最短路径。 * 初始化距离数组 `distance`,将所有顶点到源顶点的距离设为无穷大,源顶点到自身的距离设为0。 * 进入贪心算法循环: * 找到当前距离最小的未访问顶点。 * 将该顶点标记为已访问。 * 更新该顶点相邻顶点的距离。 * 如果所有顶点都已访问,则算法结束。 *
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